Resposta da Questão 08:
a)-5
b)1/7
c)12
d)-4/9
e)-1
Explicação passo a passo da Questão 08:
Como calcular logarítmos?
Para calcular log5x, considerando:
[tex]log_5 x[/tex]
De tal forma que se x=1/25, podemos encontrar:
[tex]log_5 (\frac{1}{25} )[/tex]
(i) Nesse caso, pelas propriedades logatímicas, o logarítmo de um número fracionado é o mesmo que a subtração do mesmo logarítmo do nominador pelo logarítmo do denominador, ou seja:
[tex]log_5 (1) - log_5 (25)[/tex]
Agora, basta resolver cada logarítmo e encontrar o resultado final.
(ii) Para isso, precisamos lembrar que o logarítimo de um número x na base b é igual a um resultado y se, e somente se, b elevado ao expoente y é igual a x. Então, cada um dos valores resulta em:
[tex]log_5 (1)=y \Leftrightarrow 5^y=1 \text{, como sabemos que } 5^0=1 \text{, logo: } \\\\5^y=5^0 \text{, assim } y=0\\\\\text{Por isso que }log_5 (1)=y=0.[/tex]
Pelo mesmo passo do parágrafo (ii), encontramos que:
[tex]log_5 25=2\\ \text{Porque } 5^2=25.[/tex]
Logo, a resposta da questão a) é 0-5=-5
(iii) A questão b) pode ser resolvida ao lembrarmos d e uma propriedade de raízes:
[tex]\sqrt[b]{x^a} =x^{a/b} \longrightarrow \sqrt[7]{5}=\sqrt[7]{5^1} =5^{1/7}[/tex]
(iv) Portanto, basta agora usar a propriedade de logarítmos que resolve logarítmo de um número elevado a um valor é o mesmo que o produto desse valor pelo logarítmo do número, ou seja:
[tex]log_5 \sqrt[7]{5}=log_5 5^{1/7} =\frac{1}{7} \cdot log_5 5[/tex]
E pela propriedade explicada no parágrafo (ii), chegamos ao resultado para a questão b) ser (1/7).1=1/7
A resolução das questões anteriores apresentam as propriedades suficientes para calcular a questão c):
[tex]log_5 5^{12}=12 \cdot log_5 5 = 12 \cdot1=12[/tex]
A questão d) também pode ser resolvida com as propriedades anteriores:
[tex]log_5 \left(\frac{1}{\sqrt[9]{625} } \right)=log_5 \left(\frac{1}{\sqrt[9]{5^4} } \right)=log_5 \left(1\right)-log_5 \left(\sqrt[9]{5^4} \right)=0-log_5 \left(5^{4/9} \right)=\\\\=0-\frac{4}{9} \cdot log_5 \left(5\right)=-\frac{4}{9}\cdot 1=-\frac{4}{9}.[/tex]
E a questão e) é resolvida ao sabermos que o número decimal pode ser representado por fração da seguinte forma: 0,2=2/10. Assim:
[tex]log_5 0,2=log_5 \frac{2}{10}=log_5 \frac{1}{5}=log_5 1-log_5 5=0-1=-1[/tex]
Resposta da Questão 03:
a) log_5(x)+1
b) -2
c) 5
d) 5
e) 1/3
f) 4/3
Explicação passo a passo da Questão 08:
Resolvendo problemas com logarítmos.
a) Essa questão não apresenta o valor de um logaritmando, então vamos considerar que ele seja x. Quando não se indica a base do logarítmo, por definição, considera-se 10. Portanto:
[tex]log_5 x+log_3 1 - log10 = log_5 x+0+log_{10} 10 =log_5 x + 1[/tex]
b) Agora observamos que uma base pode ser ajustada para conter um expoente, que pela propriedade de logarítmos, ao retirar esse expoente é o mesmo que multiplicar todo o logarítmo pelo inverso desse expoente:
[tex]log_{\left(\frac{1}{4} \right)}4 + log_4 \left(\frac{1}{4} \right)=log_{(4^{-1})}4 + (log_4 1 -log_4 4)=\frac{1}{-1}\cdot log_4 4+(0-1)=-log_4 4-1=-1-1=-2[/tex]
c) Novamente encontramos logarítmos sem base, que significa o mesmo que base ser 10.
[tex]log_{10} 1000 + log_{10} 100 + log_{10} 1=log_{10} 10^3 + log_{10} 10^2 + 0=3\cdot log_{10} 10+2\cdot log_{10} 10 = 3 \cdot 1+2\cdot 1=3+2=5.[/tex]
d) Pelas propriedades logarítmicas, um número que tem o expoente um logarítmo com base do mesmo número resulta no valor do logaritmando, isto é:
[tex]x^{log_x y}=y[/tex]
Assim:
[tex]3^{log_3 2}+2^{log_2 3}=2+3=5[/tex]
e) Primeiro resolve-se o logaritmo interno. O restante, são propriedades que já trabalhamos nestes exercícios:
[tex]log_8(log_3 3^2)=log_8(2 \cdot log_3 3)=log_8(2 \cdot 1)=log_8 2=log_{2^3}2=\frac{1}{3} log_2 2 =\frac{1}{3} \cdot 1=\frac{1}{3}[/tex]
f) Operações semelhantes do exercício anterior para resolver:
[tex]=log_{3^3}(log_{2^2}2^6)+log_{2^2}(log_{3}3^4)=\frac{1}{3} log_3(\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot log_2 2)+\frac{1}{2} log_2( 4 \cdot log_3 3)=\\\\=\frac{1}{3} log_3(\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 1)+\frac{1}{2} log_2( 4 \cdot 1)=\frac{1}{3} log_3(3)+\frac{1}{2} log_2( 2^2)=\frac{1}{3} \cdot 1+\frac{1}{2} \cdot 2log_2( 2)=\\\\ =\frac{1}{3}+1 \cdot 1=\frac{1}{3}+1=\frac{1+3}{3}=\frac{4}{3}[/tex]
Veja mais exercícios sobre logarítmos em: https://brainly.com.br/tarefa/52997535
