Após a realização dos cálculos, podemos concluir que a derivada da função é [tex]\sf f'(x)=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}[/tex]
Definição de derivada
Derivada é a inclinação da reta tangente ou ainda é o limite de retas secantes traçadas ao longo de uma curva de modo que a distância entre a curva e a reta se aproximem de zero. Observe o anexo para melhor entender.
[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf f'(x)=\lim_{ h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{array}}[/tex]
Regras básicas de derivação
- [tex]\sf \dfrac{d}{dx}(f(x)\pm g(x))=\dfrac{d}{dx}f(x)\pm\dfrac{d}{dx}g(x)[/tex]
- [tex]\sf\dfrac{d}{dx}(f(x)\cdot g(x))=\dfrac{d}{dx}f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}g(x)[/tex]
- [tex]\sf\dfrac{d}{dx}(u^n)=nu^{n-1}\cdot\dfrac{d}{dx}u[/tex]
- [tex]\sf\dfrac{d}{dx}\bigg(\dfrac{f(x)}{g(x)}\bigg)=\dfrac{\dfrac{d}{dx}f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}g(x)}{g(x)^2}[/tex]
- [tex]\sf\dfrac{d}{dx}(\sqrt{x})=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}[/tex]
Vamos a resolução da questão
Aqui iremos utilizar a regra da cadeia para encontrar a derivada da função dada.
[tex]\large\boxed{\begin{array}{l}\sf f(x)=(\sqrt{x}-1)^2\\\sf f'(x)=2(\sqrt{x}-1)^{2-1}\cdot\dfrac{d}{dx}(\sqrt{x}-1)\\\\\sf f'(x)=\backslash\!\!\!\!2(\sqrt{x}-1)\cdot\dfrac{1}{\backslash\!\!\!\!2\sqrt{x}}\\\\\sf f'(x)=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\end{array}}[/tex]
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