Através dos cálculos realizados, obtivemos que a resposta para a integral definida é igual a 46/3, portanto, a alternativa correta é a C.
Vejamos, queremos resolver a seguinte integral definida:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \int_0^2 \left(x+5x^2\right)dx\end{gathered}$}[/tex]
Para começar, vamos relembrar algumas propriedades:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \int \left[f(x)+g(x)\right]dx=\int f(x)dx+ \int g(x) dx\ \ \green{\left(\mathtt{I}\right)}.\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \int \alpha f(x)dx=\alpha \int f(x)dx\ \ \green{\left(\mathtt{II}\right)}.\end{gathered}$}[/tex]
Com isso, temos que:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \int_0^2 xdx+\int_0^2 5x^2dx\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \int_0^2 xdx+5\int_0^2 x^2dx\end{gathered}$}[/tex]
Agora, para resolvermos essas integrais, iremos utilizar a propriedade de integração do monômio, que é dada da seguinte forma:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1} +C \ ,\ \forall n\neq -1\end{gathered}$}[/tex]
Logo, surge que:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \left.\left(\frac{x^2}{2} \right)\right|_0^2+5\left.\left(\frac{x^3}{3} \right)\right|_0^2\end{gathered}$}[/tex]
Por fim, basta aplicarmos o Teorema Fundamental do Cálculo, que por sua vez é dado da seguinte forma:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\int^b_a f(x) dx=F(x)\bigg|_a^b = F(b)-F(a) \end{gathered}$}[/tex]
Ficando então:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \left(\frac{2^2}{2} \right)+5\left(\frac{2^3}{3} \right)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2+\frac{40}{3} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \boxed{\boxed{\frac{46}{3} }}\ \ \checkmark\end{gathered}$}[/tex]
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Espero ter ajudado :)
