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Determine o conjunto solução da equação exponencial

Determine O Conjunto Solução Da Equação Exponencial class=

Sagot :

Sban1

O conjunto solução dessa equação exponencial é [tex]-2[/tex] e [tex]-1[/tex]

[tex]S=[x \in R| X_1= -2~e~X_2= -1][/tex]

  • Mas, como  chegamos nessa resposta?

Temos a seguinte equação exponencial

[tex]\Large\text{$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2-4}=8^{x+2}$}[/tex]

  • Equações exponenciais são equações onde a variável fica no expoente

Antes de começarmos é bom temos em mente a seguinte propriedades da equação exponencial

  • EXPOENTE NEGATIVO

     [tex]\dfrac{1}{A}=A^{-1}[/tex]

  • BASES IGUAIS EXPOENTES DIFERENTES

       [tex]A^X=A^Y\Rightarrow X=Y[/tex]

  • POTENCIA SOBRE POTENCIA

    [tex](A^X)^Y=A^{X\cdot Y}[/tex]

   Com isso mente vamos lá

[tex]\Large\text{$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2-4}=8^{x+2}$}[/tex]

Seria vantajoso que as bases fossem iguais   pois ai poderíamos  simplifica-las e podemos torna-las iguais

Pois os dois números são múltiplos de 2

[tex]\Large\text{$\left(\dfrac{1}{2}\right)\Rightarrow2^{-1}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$8\Rightarrow(2\cdot 2\cdot 2)\Rightarrow 2^3$}[/tex]

Então podemos reescrever a expressão para  a base 2

[tex]\Large\text{$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2-4}=8^{x+2}$}\\\\\\\boxed{\Large\text{$\left(2^{-1}\right)^{x^2-4}=(2^3)^{x+2}$}}[/tex]

Agora aplicando a propriedade de potencia sobre potencia temos [tex](A^X)^Y=A^{X\cdot Y}[/tex]

[tex]\Large\text{$\left(2^{-1}\right)^{x^2-4}=(2^3)^{x+2}$}[/tex]

[tex]\boxed{\Large\text{$\left(2\right)^{-x^2+4}=(2)^{3x+6}$}}[/tex]

Agora as duas bases são iguais então podemos simplifica-las

[tex]A^X=A^Y\Rightarrow X=Y[/tex]

[tex]\Large\text{$\left(2\right)^{-x^2+4}=(2)^{3x+6}$}\\\\\\\Large\text{$-x^2+4=3x+6$}\\\\\\\Large\text{$-x^2-3x+4-6=0$}\\\\\\\boxed{\Large\text{$-x^2-3x-2=0$}}[/tex]

Agora temos uma equação do 2°

[tex]-x^2-3x-2=0\\\\\\A=-1\\B=-3\\C=-2\\\\\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c} }{2a} \\\\\\\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot (-1)\cdot (-2)} }{2\cdot -1}\\\\\\\dfrac{+3\pm\sqrt{9-8} }{-2}\\\\\\\dfrac{+3\pm\sqrt{1} }{-2}\\\\\\\dfrac{+3\pm1 }{-2}\\\\\\X_1=\dfrac{3+1}{-2} \Rightarrow \dfrac{4}{-2} \Rightarrow \boxed{-2}\\\\\\X_2=\dfrac{3-1}{-2} \Rightarrow \dfrac{2}{-2} \Rightarrow \boxed{-1}[/tex]

Logo a solução da questão é [tex]-2~e ~-1[/tex]

[tex]Solucao= (\left X_1=-2~e~X_2=-1\right)[/tex]

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