Depois de fatorar e isolar o X podemos concluir que não existe solução possível para X
Sem solução
- Mas, como chegamos nessa resposta ?
Temos que achar a solução que satisfaça a seguinte equação fracionaria
[tex]\dfrac{4}{x^2-4}+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{x}[/tex]
Antes de começarmos temos que lembrar que em fração o denominador não pode ser 0 para não causar indeterminação
A questão ja nos facilitou e nos disse os valores que X pode assumir
[tex]\boxed{X\neq 2~~~X\neq -2~~X\neq 0}[/tex]
Significa que se acharmos o valor de X igual um desses resultado não existe solução pra equação
Com isso em mente vamos lá
[tex]\dfrac{4}{x^2-4}+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{x}[/tex]
Temos uma questão de equação fracionário precisamos de alguma forma tirar esse denominador para que a questão vire uma equação normal
Vamos multiplicar cada termo da equação pelos denominadores assim conseguiremos tirar eles
[tex]\dfrac{4}{x^2-4}+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{x}\\\\\\\\\left( (x^2-4)\cdot (x+2)\cdot x\cdot \dfrac{4}{x^2-4}\right)+\left( (x^2-4)\cdot (x+2)\cdot x\cdot \dfrac{1}{x+2}\right)=\left( (x^2-4)\cdot (x+2)\cdot x\cdot \dfrac{1}{x}\right)[/tex]
Podemos simplificar o denominador pela parte de cima
[tex]\left( 1\cdot (x+2)\cdot x\cdot \dfrac{4}{1}\right)+\left( (x^2-4)\cdot1\cdot x\cdot \dfrac{1}{1}\right)=\left( (x^2-4)\cdot (x+2)\cdot 1\cdot \dfrac{1}{1}\right)[/tex]
Multiplicar o dividir qualquer número por 1 gera ele mesmo
[tex]\left( (x+2)\cdot x\cdot 4\right)+\left( (x^2-4)\cdot x\right)=\left( (x^2-4)\cdot (x+2)\right)[/tex]
Basta fazermos propriedade distributiva
[tex](4x\cdot (x+2))+(x\cdot (x^2-4)=((x^2-4)\cdot(x+2))\\\\\\4x^2+8x+x^3-4x=x^3+2x^2-4x-8\\\\\\4x^2+8x+x^3-4x-x^3-2x^2+4x+8=0\\\\-x^3+x^3+4x^2-2x^2+8x-4x+4x-8=0\\\\0+2x^2+8x+8=0\\\\\boxed{2x^2+8x+8=0}[/tex]
Temos uma raiz do 2° agora, antes de aplicarmos Bhaskara podemos simplifica-la pois todos os membros da expressão são múltiplos de 2
[tex]2x^2+8x+8=0\\\\\\\dfrac{2x^2}{2}+\dfrac{8x}{2} + \dfrac{8}{2} = \dfrac{8}{0}\\ \\\\\boxed{x^2+4x+4=0}[/tex]
agora basta aplicarmos bhaskara e achar o valor de X
[tex]x^2+4x+4=0\\\\A=1\\B=4\\C=4\\\\\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c} }{2\cdot a} \\\\\\\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 4} }{2\cdot 1} \\\\\\\dfrac{-4\pm\sqrt{16-16} }{2} \\\\\\\dfrac{-4\pm\sqrt{0} }{2}\\\\\\\dfrac{-4\pm0}{2}\\\\\\X_1=\dfrac{-4+0}{2}\Rightarrow \boxed{-2} \\\\\\X_2=\dfrac{-4-0}{2}\Rightarrow \boxed{-2}[/tex]
Logo o valor de X é -2 MAS lembre-se o valor de X não pode ser -2 pois gera uma indeterminação
Logo como o único valor possível de X não é valido o sistema não tem solução
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