Answered

Obtenha as melhores soluções para suas perguntas no Sistersinspirit.ca, a plataforma de Q&A de confiança. Conecte-se com uma comunidade de especialistas prontos para fornecer soluções precisas para suas perguntas de maneira rápida e eficiente em nossa amigável plataforma de perguntas e respostas. Junte-se à nossa plataforma para conectar-se com especialistas prontos para fornecer respostas detalhadas para suas perguntas em diversas áreas.

Resolva cada um dos itens abaixo:
a) As séries telescópicas apresentam esse nome oriundo do fato de que na simplificação da soma, uma parcela cancela uma parcela próxima, ou seja, assim como um telescópio que encurta a enorme distância entre nossos olhos e os corpos celestes, essa propriedade encurta o caminho entre a soma inicial de muitas parcelas e o cálculo do resultado. Dessa forma, não é necessário desenvolver uma quantidade infinita de termos ou simplificar por muito tempo uma cadeia de adendos.
Use as informações acima e prove que

Sagot :

A soma infinita da série telescópica [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}}[/tex] é igual a 1.

Séries telescópica

Como o problema apresenta, uma série telescópica é aquela que não é necessário calcular todos os termos, pois os termos intermediários se cancelam. Sendo assim, considere a série do problema, que pode ser reescrita como:

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}}\\=\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{\frac{n+1}{n(n+1)}}-\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{\frac{n}{n(n+1)}}\\=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)[/tex]

Ou seja, a última sequência é o próximo termo da sequência anterior. Ao invés de somarmos até o infinito, somaremos até um valor k que será levado ao infinito no fim dos cálculos:

[tex]\sum_{n=1}^{k}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=1-\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt3}-\dots+\frac{1}{\sqrt{k-1}}-\frac{1}{\sqrt k}[/tex]

Todos os valores intermediários se cancelam, exceto o primeiro e o último. Assim:

[tex]\sum_{n=1}^{k}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=1-\frac{1}{\sqrt k}[/tex]

Tomando o limite de k indo ao infinito:

[tex]\lim_{k\to\infty}\left(\sum_{n=1}^{k}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\right)=1-\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt k}=1-0=1[/tex]

Portanto, concluímos que:

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=1[/tex]

Saiba mais sobre séries telescópicas em: https://brainly.com.br/tarefa/53265013

#SPJ9

Esperamos que isso tenha sido útil. Por favor, volte sempre que precisar de mais informações ou respostas às suas perguntas. Obrigado por usar nosso serviço. Estamos sempre aqui para fornecer respostas precisas e atualizadas para todas as suas perguntas. Obrigado por usar o Sistersinspirit.ca. Continue nos visitando para encontrar respostas para suas perguntas.