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Sagot :
A soma infinita da série telescópica [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}}[/tex] é igual a 1.
Séries telescópica
Como o problema apresenta, uma série telescópica é aquela que não é necessário calcular todos os termos, pois os termos intermediários se cancelam. Sendo assim, considere a série do problema, que pode ser reescrita como:
[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}}\\=\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{\frac{n+1}{n(n+1)}}-\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{\frac{n}{n(n+1)}}\\=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)[/tex]
Ou seja, a última sequência é o próximo termo da sequência anterior. Ao invés de somarmos até o infinito, somaremos até um valor k que será levado ao infinito no fim dos cálculos:
[tex]\sum_{n=1}^{k}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=1-\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt3}-\dots+\frac{1}{\sqrt{k-1}}-\frac{1}{\sqrt k}[/tex]
Todos os valores intermediários se cancelam, exceto o primeiro e o último. Assim:
[tex]\sum_{n=1}^{k}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=1-\frac{1}{\sqrt k}[/tex]
Tomando o limite de k indo ao infinito:
[tex]\lim_{k\to\infty}\left(\sum_{n=1}^{k}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\right)=1-\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt k}=1-0=1[/tex]
Portanto, concluímos que:
[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=1[/tex]
Saiba mais sobre séries telescópicas em: https://brainly.com.br/tarefa/53265013
#SPJ9
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