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Racionalize a seguinte expressão
[tex] \frac{ \sqrt[3]{4} \: - \: 6\sqrt[3]{2} }{ \sqrt{ \sqrt[3]{16} } } [/tex]
A minha conta ficou diferente da resposta no livro quero ver o que fiz de errado. Não gosto de pedir a resposta sem me esforçar primeiro. Essa gente aqui quer tudo de bandeja.​

edit: já consegui! "A pressa é inimiga da eficiência".

Sagot :

Sban1

Ao racionalizarmos o a expressão e simplificarmos podemos concluir que

[tex]\Large\text{$\dfrac{\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\sqrt[3]{16} } }\Rightarrow\boxed{\dfrac{\left(\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}\right) \cdot \sqrt[6]{16^5}}{16 } }$}\\[/tex]

  • Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos que racionalizar a seguinte expressão

[tex]\dfrac{\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\sqrt[3]{16} } }[/tex]

Mas antes, temos que saber o que é racionalizar

  • Racionalizar um expressão significa tirar a raiz do denominador, para fazer isso usamos métodos algébricos

Antes de começarmos a racionalizar podemos simplificar a expressão de modo que facilite nosso cálculos

Perceba que no denominador da expressão temos [tex]\sqrt{\sqrt[3]{16} }[/tex]

Podemos usar um propriedade da raiz que diz o seguinte

  • [tex]\Large\text{$\sqrt[X]{\sqrt[Y]{Z} } = \sqrt[X\cdot Y]{Z}$}[/tex]

Então podemos escrever o [tex]\sqrt{\sqrt[3]{16} }[/tex] como [tex]\sqrt[6]{16}[/tex]

[tex]\Large\text{$\sqrt[2]{\sqrt[3]{16} } = \sqrt[2\cdot 3]{16}$}\\\\\\\boxed{\Large\text{$\sqrt[6]{16} $}}[/tex]

Então ficamos com a seguinte expressão

[tex]\Large\text{$\dfrac{\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\sqrt[3]{16} } }\Rightarrow\boxed{\dfrac{\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}}{ \sqrt[6]{16} }} $}[/tex]

Agora vamos racionalizar a expressão

Para começar vamos multiplicar a expressão pela mesma raiz do denominador, tanto em cima quanto em baixo só que o radical da raiz  vai ser elevado a mesmo valor do índice menos 1

[tex]\Large\text{$\dfrac{\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}}{ \sqrt[6]{16} }\cdot \dfrac{ \sqrt[6]{16^5}}{ \sqrt[6]{16^5}} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$\dfrac{\left(\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}\right) \cdot \sqrt[6]{16^5}}{ \sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{16^5}} $}[/tex]

Bem agora no denominador podemos usar uma propriedade de multiplicação de raízes de mesmo índice

  • [tex]\Large\text{$\sqrt[n]{x^m}\cdot \sqrt[n]{x^y}= \sqrt[n]{x^{m+y}} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$\dfrac{\left(\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}\right) \cdot \sqrt[6]{16^5}}{ \sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{16^5}} $}\\\\\\\\\Large\text{$\dfrac{\left(\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}\right) \cdot \sqrt[6]{16^5}}{ \sqrt[6]{16^6} } $}\\\\\\\\\boxed{\Large\text{$\dfrac{\left(\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}\right) \cdot \sqrt[6]{16^5}}{16 } $}}[/tex]

Como a questão só quer a forma racionalizada e não a forma simplificada da questão  podemos parar por aqui

Link de questão parecida:

https://brainly.com.br/tarefa/1389846

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