Após a realização dos cálculos chegamos a conclusão de que o valor do quarto termo desta PA é [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf a_4 = -\: 13 $ }[/tex].
Progressão aritmética ( PA ) é toda sequência de números na qual a diferença entre cada termo ( a partir do segundo ) e o termo anterior é constante chamada de razão.
Representada por uma forma genérica:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ (\: a_1, a_2, a_3. \dotsi a_n \:) } $ }[/tex]
Termo Geral de uma Progressão Aritmética:
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{a_n = a_1 + (n -1) \cdot r } $ } }[/tex]
Propriedade:
Qualquer termo de uma P.A., a partir do segundo termo [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf (\: a_2 \:) $ }[/tex], é sempre igual à média aritmética entre os termos anterior e posterior a ele.
[tex]\Large \boxed{\displaystyle \text { $ \mathsf{ a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} } $ } }[/tex]
Dados fornecido pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf a_1 = 3x - 1 \\ \sf a_2 = 4x- 1 \\\sf a_3 = 7x + 3 \end{cases} } $ }[/tex]
Aplicando a definição de média aritmética, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{a_2 = \dfrac{a_1 +a_3}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 4x - 1 = \dfrac{(3x-1) +(7x+3)}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 4x - 1 = \dfrac{ 3x-1 + 7x+3 }{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 4x - 1 = \dfrac{ 10x + 2 }{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 10x + 2 = 2 \cdot (4x -1) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 10x +2 = 8x -2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 10x - 8x = - 2 - 2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 2x = - 4 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x = - \dfrac{4}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = - 2 }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf a_1 = 3x - 1 = -7\\ \sf a_2 = 4x- 1 = -9 \\\sf a_3 = 7x + 3 = -11 \end{cases} } $ }[/tex]
A razão pode ser calculada por:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{r = a_2- a_1 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{r =-9- (-7) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{r =-9 +7 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf r = - 2 }[/tex]
O valor do quarto termo desta PA:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{a_n = a_1 + (n-1) \cdot r } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{a_4 = -7 + (4-1) \cdot (-2) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{a_4 = -7 +3 \cdot (-2) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{a_4 = -7 - 6 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a_4 = -\: 13 }[/tex]
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