Resposta:
O valor de x, na Progressão Aritmética cujos termos são (x + 2), (x + 5), (x + 8), ...., (x + 35) e cuja soma é 282, é 5.
Ou seja, x = 5.
Explicação passo a passo:
O enunciado da Tarefa nos informa que se trata de uma Progressão Aritmética cujos termos componentes são:
1º termo: a₁ = (x + 2).
2º termo: a₂ = (x + 5).
3º termo: a₃ = (x + 8).
enésimo termo: aₙ = (x + 35).
Em uma Progressão Aritmética, a razão é obtida pela diferença entre dois termos consecutivos. Vejamos:
2º termo - 1º termo = razão
a₂ - a₁ = r
(x + 5) - (x + 2) = r
x + 5 - x - 2 = r
x - x + 5 - 2 = r
0 + 3 = r
3 = r ou r = 3
3º termo - 2º termo = razão
a₃ - a₂ = r
(x + 8) - (x + 5) = r
x + 8 - x - 5 = r
x - x + 8 - 5 = r
0 + 3 = r
3 = r ou r = 3
Portanto, na Progressão Aritmética dada, a razão é igual a 3.
Duas fórmulas são altamente relevantes em uma Progressão Aritmética, e que serão por nós utilizadas para resolver a Tarefa:
FÓRMULA DO TERMO GERAL:
[tex]a_{n} = a_{1} + (n - 1).r[/tex]
SOMA DOS TERMOS:
[tex]S_{n} = \frac{(a_{1}+a_{n}).n}{2}[/tex]
Onde:
a₁: 1º termo.
aₙ: enésimo termo.
n: número de termos.
r = razão.
Sn: soma dos "n" termos.
De posse destas duas fórmulas e dos dados da Tarefa, teremos:
- Enésimo termo (aₙ) = (x + 35); 1º termo (a₁) = (x + 2); Número de termos (n) = incógnita; Razão (r) = 3:
[tex]a_{n} = a_{1} + (n - 1).r\\(x + 35) = (x + 2) + (n-1).3\\x + 35 = x + 2 + 3n - 3\\x + 35 - x - 2 + 3 = 3n\\35+3-2 = 3n\\38-2 = 3n\\36 = 3n\\\frac{36}{3}=n\\12=n\\ou\\n=12[/tex]
- Soma dos "n" termos (Sn) = 282; 1º termo (a₁) = (x + 2); Número de termos (n)= 12:
[tex]S_{n} = \frac{(a_{1}+a_{n}).n}{2}\\S_{12} = \frac{(a_{1}+a_{12}).n}{2}\\S_{12} = \frac{(x+2 + x+35).12}{2}\\282=\frac{(x+x+2+35).12}{2}\\564=(2x+37).12\\564 = 24x + 444\\564-444=24x\\120=24x\\\frac{120}{24}=x\\5 = x\\ ou\\x = 5[/tex]
Logo, o valor de x é igual a 5.
