As dimensões do retângulo de área máxima e perímetro igual a 100 m são todas iguais a 25 m. Sendo então um quadrado.
Vamos supor que as dimensões (lados) do retângulo dados no enunciado sejam dados por a e b. Então, como o perímetro é a soma de todos os lados, podemos escrever:
[tex]100 = a+b+a+b \Leftrightarrow 2a+2b = 100 \Leftrightarrow a+b = \frac{100}{2} = 50[/tex]
Agora vamos ao cálculo da área. A área A de um retângulo é igual ao produto de seus lados, então:
[tex]A = ab[/tex]
Mas como sabemos que a + b = 50, podemos expressar b em função de a, o que nos dará b = 50 – a. Substituindo isso na equação da área:
[tex]A = a \cdot (50-a) \Leftrightarrow A = 50a - a^2[/tex]
Que é uma função do segundo grau, cuja concavidade está voltada para baixo. O vertice ocorrerá no ponto em que a abscissa é a média aritmética das raízes da função. Vamos calcular as raízes:
[tex]50a - a^2 = 0 \Leftrightarrow a(50-a) = 0 \Leftrightarrow a =0 \textrm{ ou } a = 50[/tex]
Então a média aritmética das raízes é igual a:
[tex]\frac{50+0}{2} = \frac{50}{2} = 25\,\textrm{m}[/tex]
Portanto, b = 50 – 25 = 25 m. Ou seja, de todos os retângulos possíveis, o que terá a maior área tem lados iguais a 25 m, sendo um quadrado.
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