Resposta:
m=0 ou m=12
Explicação passo a passo:
Se trata de um problema de Equação do segundo grau e Fórmula de Pitágoras.
Acredito que a equação seja:
[tex](2m+1)x^2-(3m-1)x+m=0[/tex]
Temos que a forma padrão de uma equação do segundo grau é:
[tex]\boxed{y=a^2+bx+c}[/tex]
Para encontrar as raízes de uma equação do segundo grau, podemos aplicar a fórmula de Bhaskara, ou o método da Soma e produto. Por conta de simplicidade, escolheremos o segundo método, que consiste em encontrar duas raízes tais que:
[tex]x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\\\x_1*x_2=\frac{c}{a}[/tex]
Onde x1 e x2 são as raízes da equação, e a, b e c, coeficientes da forma padrão da equação.
Comparando a equação dada, com a forma padrão, temos que:
a=2m+1
b=-(2m-1)
c=m
então, aplicando nas relações de soma e produto:
[tex]x_1+x_2=\frac{3m-1}{2m+1}\\\\x_1*x_2=\frac{m}{2m+1}[/tex]
Agora, o problema também diz que as raízes da equação são catetos de um triângulo retângulo de hipotenusa 1.
Para triângulos retângulos, temos a fórmula de Pitágoras:
[tex]\boxed{x_1^2+x_2^2=hipotenusa^2}[/tex]
Temos agora 3 equações, o que forma um sistema de equações.
Para resolvê-lo há várias formas. Vamos elevar a primeira equação ao quadrado:
[tex](x_1+x_2)^2=(\frac{3m-1}{2m+1})^2[/tex]
Aplicando as propriedades de potência, temos:
[tex]x_1^2+2x_1*x_2+x_2^2=\frac{(3m-1)^2}{(2m+1)^2}[/tex]
Temos ao lado esquerdo, duas expressões das quais sabemos o resultado:
[tex]x_1^2+x_2^2+2x_1*x_2=\frac{(3m-1)^2}{(2m+1)^2}=1+2(\frac{m}{2m+1})=\frac{(3m-1)^2}{(2m+1)^2}[/tex]
Rearranjando a equação, temos que:
[tex]\frac{(3m-1)^2}{(2m+1)^2}-2(\frac{m}{2m+1})-1=0 \rightarrow (3m-1)^2-2m(2m+1)-(2m+1)^2=0[/tex]
Simplificando, chegamos em:
[tex]m^2-12m=0\\\\m(m-12)=0[/tex]
Para a multiplicação de duas coisas ser igual a zero, uma delas deve ser igual a zero, então:
m=0, ou m=12
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