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calcule as raizes da funçao f(×)=x2−2x+2​

Sagot :

Lufe63

Resposta:

As raízes ou os zeros da equação x² - 2x + 2 estão no campo dos números complexos e correspondem a 1 + i e 1 - i.

Explicação passo-a-passo:

Trata-se de uma equação de segundo grau, do tipo ax² + bx + c = 0, onde a e b são os coeficientes literais e c é o termo livre.

Vamos iniciar com a Fórmula de Bhaskara:

[tex]\Delta = {b}^{2} - 4ac[/tex]

[tex]\Delta = {( - 2)}^{2} - 4.(1).(2) = \\ = 4 - 8 = \\ - 4[/tex]

Uma vez que o Discriminante ou Delta é negativo, não existem soluções no campo dos números reais, mas sim no campo dos números imaginários.

A unidade imaginária í² = -1 será utilizada para a solução da Equação:

[tex]\Delta = - 4 \\ \Delta = 4.( - 1) \\ \Delta = 4 {i}^{2} [/tex]

Agora, calculemos a raiz de Delta: a raiz quadrada de 4i² é 2i.

Finalmente, vamos calcular as raízes:

[tex]x = \frac{ - b + \sqrt\Delta}{2a} \\ x = \frac{ - ( - 2) + 2i}{2.1} = \\ x = \frac{2 + 2i}{2} \\ x = 1 + i[/tex]

Ou

[tex]x = \frac{ - b - \sqrt\Delta}{2a} \\ x = \frac{ - ( - 2) - 2i}{2.1} = \\ x = \frac{2 - 2i}{2} \\ x = 1 - i[/tex]

Portanto, as raízes ou os zeros da equação x² - 2x + 2 são 1 + i e 1 - i.

solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o conjunto solução da referida função do segundo grau dependerá do seu conjunto universo. Desse modo, temos duas possíveis soluções:

           [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \textrm{Se}\:f(x):\:\:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\:\:\Longrightarrow S = \emptyset\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \textrm{Se}\:f(x):\:\:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\:\:\:\Longrightarrow S = \{1 - i,\,1 + i\}\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]

Seja a função:

        [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = x^{2} - 2x + 2\end{gathered}$}[/tex]

Cujos coeficientes são:

                      [tex]\Large\begin{cases} a = 1\\b = -2\\c = 2\end{cases}[/tex]

OBSERVAÇÃO: Para trabalhar com funções somos obrigados a informar o conjunto universo ou o conjunto domínio e o conjunto contradomínio. Pois, o conjunto solução da função será fortemente influenciado por esses conjuntos.

Para calcular as raízes da equação do segundo grau fazemos:

     [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2 a}\end{gathered}$}[/tex]

         [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2} - 4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}\end{gathered}$}[/tex]

          [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{2\pm\sqrt{4 - 8}}{2}\end{gathered}$}[/tex]

          [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{2\pm\sqrt{-4}}{2}\end{gathered}$}[/tex]

Como não foi informado o conjunto universo, tampouco o conjunto domínio da função, então podemos ter duas possíveis soluções para esta função:

  • Se a função estiver definida nos reais, temos:

             [tex]\LARGE\begin{cases} x' = \frac{2 - \sqrt{-4}}{2} = \nexists\\x'' = \frac{2 + \sqrt{-4}}{2} = \nexists\end{cases}[/tex]

         Portanto o conjunto solução da função definida nos reais é:

                             [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S = \emptyset\end{gathered}$}[/tex]

   

  • Se a função estiver definida nos complexos temos:

         [tex]\LARGE\begin{cases} x' = \frac{2 - \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 - 2i}{2} = 1 - i\\x'' = \frac{2 + \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i\end{cases}[/tex]

        Portanto o conjunto solução da função definida nos complexos é:

                  [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S = \{1 - i,\,1 + i\}\end{gathered}$}[/tex]  

[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]

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