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Obtenha 5 números reais em p. A. Sabendo que sua soma é 5 e a soma de seus inversos é 563 63.

Sagot :

PhillDays

Uma das quatro possíveis progressões aritméticas será 1/5, 3/5, 1, 7/5, 9/5.

Para resolver este exercício vamos relacionar a progressão aritmética com a progressão harmônica dada.

Progressão artimética⠀

Inicialmente vamos escrever de forma estratégica os 5 termos desta P.A. da seguinte forma, sendo r a razão de um termo para o outro.

⠀

  • (a₃ - 2r), (a₃ - r), a₃, (a₃ + r), (a₃ + 2r)

⠀

Da soma destes termos obtemos que:

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a₃ - 2r + a₃ - r + a₃ + a₃ + r + a₃ + 2r = 5

5a₃ = 5

a₃ = 5/5 = 1

Progressão harmônica

Da soma do inverso destes termos obtemos que:

1/(a₃ - 2r) + 1/(a₃ - r) + 1/a₃ + 1/(a₃ + r) + 1/(a₃ + 2r) = 563/63

1/(1 - 2r) + 1/(1 - r) + 1/1 + 1/(1 + r) + 1/(1 + 2r) = 563/63

1/(1 - 2r) + 1/(1 - r) + 1/(1 + r) + 1/(1 + 2r) - 500/63 = 0

Com um denominador comum podemos reescrever essa expressão (com algumas boas linhas de conta ou com o auxílio de alguma ferramenta eletrônica) da seguinte forma:

[tex]\large\blue{\text{$\bf \dfrac{-2000 r^4 + 1870 r^2 - 248}{63(r - 1)(r+ 1) (2r - 1)(2r + 1)} = 0$}}[/tex]

[tex]\large\blue{\text{$\bf -2000 r^4 + 1870 r^2 - 248 = 0$}}[/tex]

Podemos encontrar r através do método da substituição de variáveis (r² = k) ou fatorando o polinômio acima. Vamos fazer pelo segundo método:

[tex]\large\blue{\text{$\bf -2(5r - 2)(5r + 2)(40r^2 - 31) = 0$}}[/tex]

Sendo assim, observando as possibilidades para que esta expressão resulte em 0, temos 4 possíveis valores para r:

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  • 5r - 2 = 0 ⇒ r = 2/5
  • 5r+ 2 = 0 ⇒ r = -2/5
  • 40r² - 31 = 0 ⇒ r = ±√(31/40)

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Por fim, teremos 4 possíveis progressões aritméticas para a resposta:

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  • (1 - 2·(2/5)), (1 - 2/5), 1, (1 + 2/5), (1 + 2·(2/5))
  • (1 - 2·(-2/5)), (1 - (-2/5)), 1, (1 + (-2/5)), (1 + 2·(-2/5))
  • (1 - 2√(31/40)), (1 - √(31/40)), 1, (1 + √(31/40)), (1 + 2√(31/40)))
  • (1 - 2(-√(31/40))), (1 - (-√(31/40))), 1, (1 + (-√(31/40))), (1 + 2(-√(31/40)))

Continue estudando sobre progressões aritméticas aqui: https://brainly.com.br/tarefa/38405971

#SPJ4

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