O cálculo de áreas entre curvas é realizado a partir integral definida do ponto de início até o final da área a ser calculada. A área entre as curvas é 32/3.
Primeiramente vamos montar o gráfico das funções f(x) e g(x) determinando valores para x e encontrando y.
PARÁBOLA
Para f(x) = x² - 2x e x = 0, temos
f(0) = 0² - 2·0
f(0) = 0
Ponto A = (0,0)
Para f(x) = x² - 2x e x = 1
f(1) = 1² - 2·1
f(1) = 1 - 2
f(1) = -1
Ponto B (1,-1)
Para f(x) = 0
x² - 2x = 0
x · (x - 2) = 0
As raízes são 0 e 2, então a parábola toca o eixo x em A(0,0) e C(2,0).
Observe o gráfico os pontos A(0,0), B(1,-1) e os pontos onde a parábola toca x, (0,0) e (2,0).
RETA
g(x) = 2x para x = 1
g(1) = 2·1
g(1) = 2
Ponto D(1,2)
g(x) = 2x para x = 2
g(2) = 2·2
g(2) = 4
Ponto E (2,4)
Como dois pontos formam uma reta, observe no gráficos pontos D(1,2) e D(2,4) formando a reta f.
Para calcular área formada pelas duas funções, primeiro vamos subtrair a menor da maior, considerando a integral.
Agora observe no gráfico que a área a ser calculada tem início em 0 e vai até 4 no eixo x, e, portanto, vamos defini-á de 0 a 4.
[tex]\int\limits^4_0[2x-(x^{2} -2x)]dx=\\ \\ \\ \int\limits^4_0(2x-x^{2} +2x)dx=\\ \\ \\ \int\limits^4_0(4x-x^{2})dx=\\ \\ \\ \dfrac{4x^{2} }{2} -\dfrac{x^{3} }{3}=\\ \\ \\ 2x^{2} -\dfrac{x^{3} }{3}~\left \right |^4_0 ~=\\ \\ \\ \left(2\cdot 4^{2} -\dfrac{4^{3} }{3} \right)- \left(2\cdot 0^{2} -\dfrac{0^{3} }{3} \right)=\\ \\ \\ \\ 32 -\dfrac{64}{3}\\ \\ \\ \\ \boxed{\dfrac{32}{3} }[/tex]
A área entre as curvas é 32/3.
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#SPJ11
