A formula fechada para esse sequencia é
[tex]4^{2^{n-1} }[/tex]
Uma sequência é dita recursiva ou recorrente quando determinado termo pode ser calculado em função de termos antecessores.
Ex: 4, 7, 10, 13, 16, 19...(Observe que o termo seguinte e sempre o termo anterior somado por 3, veja o segundo elemento 7 é o termo anterior ou seja 4 adicionado com 3, observe o terceiro elemento 10 e o termo anterior ou seja o segundo termo (7) adicionado com 3)
Com essa informação vamos para nossa questão
[tex]x_{1}[/tex] = 4
[tex]x_{n}[/tex] = [tex](x_{n} -1)^{2}[/tex]
Observe que o elemento [tex]x_{n}[/tex] é o elemento anterior elevado ao quadrado, por exemplo [tex]x_{5} = (x_{5} -1)^{2}[/tex]⇒ [tex]x_{5} =(x_{4} )^2[/tex], logo e uma sequencia recursiva.
Agora vamos para analise da sequencia
[tex]x_{1 }= 4[/tex]
para n=2
[tex]x_{2} = (x_{2}-1)^2[/tex] ⇒ [tex]x_{2} =(x_1)^2[/tex] ⇒ [tex]\fbox{x_2=4^2}[/tex][tex]x_2=4^2[/tex] ⇒ [tex]x_2=4^{2^{1[/tex]
para n=3
[tex]x_3=(x_3-1)^2[/tex] ⇒ [tex]x_3=(x_2)^2[/tex] ⇒[tex]x_3=(4^2)^2[/tex]⇒[tex]x_3=4^{2.2}[/tex]⇒ [tex]x_3=4^{2^{2}[/tex]
para n=4
[tex]x_4=(x_4-1)^2[/tex] ⇒ [tex]x_4=(x_3)^2[/tex] ⇒ [tex]x_4 = (4^{2.2})^2[/tex] ⇒ [tex]x_4=4^{2.2.2[/tex] ⇒ [tex]x_4=4^{2^{3[/tex]
Veja que a potência da potência e sempre n - 1 .
Logo para n=n
[tex]x_n=4^{2^{n-1}}[/tex]
Assim uma formula fechada para essa sequencia é [tex]x_n=4^{2^{n-1}}[/tex]
Espero te ajudado, bons estudos!!!
Para mais conhecimento:
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