Com o estudo sobre as potências de i, temos que o módulo z é igual [tex]\sqrt{2}[/tex]
1° Caso: n≥0
Dividindo n por 4, obtemos um quociente inteiro q e um resto inteiro r tal que 0≤r<4, isto é, n = 4q+r. Assim, aplicando as propriedades das potências, temos
[tex]i^n=i^{4q+r}=i^{4q}\cdot i^r=\left(i^4\right)^q\cdot i^r=1^q\cdot i^r=1\cdot i^r=i^r[/tex]
Como r é inteiro e 0≤r<4, concluímos que [tex]i^r[/tex] é um dos valores [tex]i^0,i^1,i^2,i^3[/tex]
2° Caso: n < 0
[tex]\left(i^n\right)=\left(i^{-1}\right)^{-n}[/tex]
Podemos observar que [tex]i^{-1}=\dfrac{1}{i}[/tex] com isso podemos multiplicar o numerador e o denominador por -i:
[tex]i^{-1}=\dfrac{1}{i}=\dfrac{1\cdot \left(-i\right)}{i\cdot \left(-i\right)}=\dfrac{-i}{-i^2}=-i[/tex]
Assim, temos:
[tex]i^n=\left(-i\right)^{-n}=\left(-1\right)^{-n}\cdot i^{-n}[/tex]
Como n < 0, temos que -n > 0 e, portanto, pelo 1° caso, [tex]i^{-n}[/tex] é um dos quatro valores. E como [tex]i^{-n}[/tex] é igual a 1 ou a -1, concluímos que [tex]\left(-1\right)^{-n}\cdot i^{-n}[/tex] é um dos quatro valores.
Sendo assim podemos resolver o exercício. Dividindo 2014 por 4, obtemos resto 2. Logo, [tex]i^{2014}=i^2=-1[/tex]. Dividindo 1987 por 4, obtemos resto 3. Logo, [tex]i^{1987}=i^3=-i[/tex]. Daí, [tex]\:z\:=\:-1-\left(-i\right)[/tex]
Calculando o módulo teremos [tex]\left|z\right|=\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{2}[/tex]
Saiba mais sobre módulo de um número complexo:https://brainly.com.br/tarefa/6903191
#SPJ11
