Resposta:
(a) Lei da função: f(x) = x² - 4x
(b) Coordenadas do vértice: xv = -2 e yv = -4
(c) O valor mínimo de função f(x) é -4
Explicação passo a passo:
Solução:
a) A lei dessa função? É uma função do tipo y = f(x) = ax² + bx + c, onde
a ≠ 0, denominada função quadrática ou função do segundo grau. Atenção: x são os valores que estão no eixo horizontal e y no eixo vertical. O objetivo desse item é determinar os valores dos coeficientes a, b, c. Pelo gráfico de f(x) identificamos três pontos pertencentes a f(x).
São eles:
A = (x1 ; y1) = (-4 ; 0)
B = (x2 ; y2) = (-1 ; -3)
C = (x3, y3) = (0 ; 0)
Se A, B e C pertencem ao gráfico de f(x) podemos escrever:
y1 = a x1² + b x1 + c → 0 = a(-4)² + b(-4) + c → 16a - 4b + c = 0 → ( I )
y2 = a x2² + b x2 + c → -3 = a(-1)² + b(-1) + c → a - b + c = -3 → ( II )
y3 = a x3² + b x3 + c → 0 = a(0)² + b(0) + c → 0 = 0 + 0 + c → ( III )
Então, de ( III ) tiramos que c = 0. Agora, substitua c = 0 nas equações ( I ) e ( II ) e faça as continhas.
16a - 4b + 0 = 0 → 16a - 4b = 0 → ( I )
a - b + c = -3 → a - b = -3 ( II )
Desta forma restou um sistema 2 x 2 nas variáveis a e b. Se temos duas equações e duas variáveis, é o que basta para determinar os valores de a e b.
║16a - 4b = 0 ( I )
║a - b = -3 ( II )
Resolvendo pelo Método da Substituição:
a - b = -3 → a = b - 3 ( IV)
Fazendo ( IV ) em ( I ) fica:
16 (b - 3) - 4b = 0
16b - (16 . 3) - 4b = 0
16b - 4b - 48 = 0
12b - 48 = 0
12b = 48
b = 48/12
b = 4
Determinando o valor de a:
Se a - b = -3 → a - (4) = -3 → a = -3 + 4 → a = 1
Logo, a = 1 , b = 4 , c = 0
Como y = f(x) = ax² + bx + c
y = f(x) = 1x² + 4x + 0
y = f(x) = x² + 4x que é a lei da função procurada.
b) As coordenadas do vértice da função:
Seja V o vértice da função f(x) = x² + 4x e ainda, os seus coeficientes
a = 1 , b = 4 , c = 0. O Vértice é dado por V = (xv , yv) = (-b/2a , -▲/40), onde ▲ = b² - 4.a.c = 4² - 4 . 1 . 0 = 16 - 0 = 16. ▲ = 16 (delta)
xv = -b/2a = -4/(2 . 1) = 4/(-2) = -2 → xv = -2
yv = -▲/4.a = -16/(4 . 1) = -16/4 = -4 → yv = -4
Portanto as coordenadas do vértice V de f(x) são xv = -2 e yv = -4
c) O valor mínimo da função f(x)
O vértice de f(x) é um ponto de mínimo pois a concavidade da parábola está voltada para cima, ou ainda, o coeficiente a > 0. O vértice já determinamos no item (b) que é V = (-2 , -4). Sendo assim, o valor mínimo de f(x) é -4 para qualquer x real.
@sepauto
Sebastião Paulo Tonolli
10/08/2022
SSRC
