Resposta:
Por favor, acompanhar a Explicação.
Explicação passo a passo:
Trata-se de uma função de segundo grau ou função quadrática, do tipo f(x) = ax² + bx + c, onde a e b são os coeficientes da parte variável e c, termo livre.
1º Passo: Identificar os coeficientes da função de segundo grau.
f(x) = ax² + bx + c
f(x) = x² + x + 2 => a = 1, b = 1 e c = 2
Lembretes:
a) O valor do coeficiente c é o ponto em que a função intercepta o eixo 0y (0, c). É o ponto em que x é igual a 0.
b) As raízes ou os zeros da função correspondem aos pontos de interceptação no eixo 0x. São os pontos em que f(x) é igual a 0.
2º Passo: Transformar a função de segundo grau em uma equação de segundo grau (f(x) = 0).
f(x) = x² + x + 2
0 = x² + x + 2
x² + x + 2 = 0
3º Passo: Calcular o valor do Discriminante da equação de segundo grau (Discriminante ou Δ)
Δ = b² - 4ac
[tex]\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=(1)^{2}-4.(1).(2)\\\Delta=1 - 8\\\Delta=-7[/tex]
4º Passo: Analisar o resultado do Discriminante.
Como o valor de Delta encontrado é menor do que zero (Δ < 0 ou Δ negativo), a equação de segundo grau não admite solução no campo dos números reais. Contudo, no campo dos números complexos, há solução para a equação de segundo grau.
5º Passo: Unidade Imaginária.
Por definição, a unidade imaginária é:
i² = -1
6º Passo: Reescrever o resultado do Discriminante, utilizando a unidade imaginária.
[tex]\Delta=-7\\\Delta=7.(-1)\\\Delta=7.i^{2}[/tex]
7º Passo: Determinar os Zeros ou as Raízes da equação de segundo grau.
[tex]x_{1} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\e\\x_{2} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
1ª Raiz ou 1º Zero (x₁):
[tex]x_{1} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\x_{1} = \frac{-1+\sqrt{7i^{2}}}{2.(1)}\\x_{1} = \frac{-1+{i\sqrt{7}}}{2}[/tex]
2ª Raiz ou 2º Zero:
[tex]x_{2} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\x_{2} = \frac{-1-\sqrt{7i^{2}}}{2.(1)}\\x_{2} = \frac{-1-{i\sqrt{7}}}{2}[/tex]
9º Passo: Determinar o Conjunto Imagem da função.
[tex]x_{v} = -\frac{b}{2a}[/tex]
[tex]x_{v} = -\frac{1}{2}[/tex]
[tex]y_{v} = -\frac{\Delta}{4a}[/tex]
[tex]y_{v} = -\frac{-7}{4.(1)}=\frac{7}{4}[/tex]
Assim, o Conjunto Imagem da função é: Im(f) = {y ∈ R | y ≥ 7/4}.
A função intercepta o Eixo das Ordenadas ou Eixo 0y no ponto de coordenadas (0, 2).
10º Passo: Determinar o Conjunto Domínio da função.
O Conjunto Domínio da função será: D(f) = {x ∈ R}.
Como observação, esta função não tem raízes ou zeros no campo dos números reais, embora tenhamos definido o seu domínio. Lembremo-nos de que o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos, para os quais as raízes ou zeros da função foram definidos.
11º Passo: Esboçar o gráfico da função.
O gráfico da função está exposto no anexo.
