Chamemos de [tex]l[/tex] e [tex]h[/tex] o lado da base quadrada e a altura da caixa, respectivamente.
Considerando-se que a caixa é composta de uma base quadrada, de área [tex]l^2[/tex], e de quatro faces retangulares, de área [tex]lh[/tex] cada, sua área de superfície é dada por:
[tex]A_S = l^2 + 4lh[/tex]
⇔ [tex]l^2 + 4lh = 29[/tex]
⇔ [tex]4lh = 29 - l^2[/tex]
⇔ [tex]h = \frac{29 - l^2}{4l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)[/tex]
O volume da caixa é dado por:
[tex]V(l, h) = l^2h[/tex]
⇔ [tex]V(l) = l^2\,.\,\frac{29 - l^2}{4l}[/tex]
⇔ [tex]V(l) = \frac{29l - l^3}{4} .[/tex]
O volume terá um valor máximo quando [tex]\frac{dV}{dl} = 0.[/tex]
[tex]\frac{d}{dl}(\frac{29l-l^3}{4}) = 0[/tex]
⇔ [tex]\frac{29}{4} - \frac{3}{4}l^2 = 0[/tex]
⇔ [tex]\frac{3}{4}l^2 = \frac{29}{4}[/tex]
⇔ [tex]l^2 = \frac{29}{3}[/tex]
⇔ [tex]l = \frac{\sqrt{29} }{\sqrt{3} }[/tex]
⇔ [tex]l = \frac{\sqrt{87} }{3}\,\,m.[/tex]
Substituindo o valor de [tex]l[/tex] em [tex](I)[/tex], temos:
[tex]h = \frac{29 - (\frac{\sqrt{87} }{3})^2 }{4\frac{\sqrt{87} }{3} }[/tex]
⇔ [tex]h = \frac{29 - \frac{87}{9} }{4\frac{\sqrt{87} }{3} }[/tex]
⇔ [tex]h = \frac{\frac{174}{9} }{4\frac{\sqrt{87} }{3} }[/tex]
⇔ [tex]h = \frac{29}{2\sqrt{87} }[/tex]
⇔ [tex]h = \frac{\sqrt{87} }{6}\,\,m.[/tex]
Portanto, as dimensões que maximizam o volume da caixa são:
Lado da base quadrada: [tex]l = \frac{\sqrt{87} }{3}\,\,m;[/tex]
Altura: [tex]h = \frac{\sqrt{87} }{6}\,\,m.[/tex]
Para as quais o volume é igual a:
[tex]V = l^2h[/tex]
⇔ [tex]V = (\frac{\sqrt{87} }{3})^2\,.\,\frac{\sqrt{87} }{6}[/tex]
⇔ [tex]V = \frac{87}{9}\,.\,\frac{\sqrt{87}}{6}[/tex]
⇔ [tex]V = \frac{29\sqrt{87} }{18} \,\,m^3.[/tex]
