Resposta:
Sejam [tex]x, y[/tex] ∈ [tex]R_+[/tex] os dois números procurados.
Temos que:
[tex]xy = 154[/tex]
⇔ [tex]y = \frac{154}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)[/tex]
Seja [tex]S[/tex] a soma de [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex]:
[tex]S(x, y) = x + y[/tex]
⇔ [tex]S(x) = x + \frac{154}{x}.[/tex]
A soma [tex]S[/tex] terá um valor mínimo em [tex]R_+[/tex] quando [tex]\frac{dS}{dx} = 0.[/tex]
Assim:
[tex]\frac{d}{dx}(x + \frac{154}{x}) = 0\\\\1 - \frac{154}{x^2} = 0\\\\\frac{154}{x^2} = 1\\\\ x^2 = 154\\\\x = \sqrt{154}.[/tex]
Substituindo o valor de [tex]x[/tex] em [tex](I)[/tex], fica:
[tex]y = \frac{154}{\sqrt{154} }[/tex]
⇔ [tex]y = \sqrt{154}.[/tex]
Portanto, os dois números reais positivos cujo produto é 154 e cuja soma é a menor possível são [tex]\sqrt{154}[/tex] e [tex]\sqrt{154}[/tex].
