marianamatias5555
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Determine dois números positivos cujo produto seja 154 e cuja soma seja a menor possível. Por favor me ajudem!! ​

Sagot :

fmpontes93

Resposta:

Sejam [tex]x, y[/tex] ∈ [tex]R_+[/tex] os dois números procurados.

Temos que:

[tex]xy = 154[/tex]

⇔   [tex]y = \frac{154}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)[/tex]

Seja [tex]S[/tex] a soma de [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex]:

[tex]S(x, y) = x + y[/tex]

⇔   [tex]S(x) = x + \frac{154}{x}.[/tex]

A soma [tex]S[/tex] terá um valor mínimo em [tex]R_+[/tex] quando [tex]\frac{dS}{dx} = 0.[/tex]

Assim:

[tex]\frac{d}{dx}(x + \frac{154}{x}) = 0\\\\1 - \frac{154}{x^2} = 0\\\\\frac{154}{x^2} = 1\\\\ x^2 = 154\\\\x = \sqrt{154}.[/tex]

Substituindo o valor de [tex]x[/tex] em [tex](I)[/tex], fica:

[tex]y = \frac{154}{\sqrt{154} }[/tex]

⇔   [tex]y = \sqrt{154}.[/tex]

Portanto, os dois números reais positivos cujo produto é 154 e cuja soma é a menor possível são [tex]\sqrt{154}[/tex]  e  [tex]\sqrt{154}[/tex].

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