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Sagot :
Podemos concluir que o domínio dessa função é
[tex]\boxed{D= -1 < x < 2 ~~ x\neq 0}[/tex]
Nenhuma alternativa bate com o resultado encontrado
- Mas, como chegamos nessa conclusão?
Bem antes de começarmos a responder a questão temos que lembrar o que é domínio de uma função
- Domínio de uma função são todos os valores que a variável X possa assumir de modo que não gera uma indeterminação na função
- Indeterminação na matemática são valores que não podemos calcular, como por exemplo dividir algum número por 0 ou raiz quadrada negativa
Exemplos de indeterminação : [tex]\dfrac{1}{0}, ~\sqrt[2]{-3} ,~ \log_{-3}(-10)[/tex]
Agora vamos olhar a função dada pela questão
[tex]F(x)=\log_{x+1}(-x^2-x+6)[/tex]
Uma função logarítmica. Para a existência de um logaritmo temos que seguir algumas regras.
- A base do logaritmo tem que ser maior que 0 e diferente de 1
- O logaritmano tem que ser maior que 0
Analisando a função [tex]F(x)=\log_{x+1}(-x^2-x+6)[/tex] perceba que a base do Log é [tex](X+1)[/tex] e o logaritmano é [tex](-X^2-X+6)[/tex] ou seja as condições de existência de log são
[tex]Base: (x+1) > 0~~(x+1)\neq ~1[/tex]
[tex]Logaritmano: (-x^2-x+6) > 0[/tex]
Perceba que temos 3 condições de existência, vamos analisar cada uma separadamente
- Primeira condição
[tex]x+1\neq 1\\\\x\neq 1-1\\\\\boxed{x\neq 0}[/tex]
Ou seja X não pode assumir o valor 0
- Segunda condição
[tex]x+1 > 0\\\\x > 0-1\\\\\boxed{x > -1}[/tex]
Ou seja X tem que ser um número maior que -1
- Terceira condição
[tex]-x^2-x+6 > 0[/tex]
Uma inequação do 2°, aplicamos bhaskara e depois testamos os sinais
[tex]-x^2-x+6 > 0\\\\A=-1\\B=-1\\C=6\\\\\\\dfrac{-B\pm \sqrt{B^2-4\cdot A\cdot C } }{2\cdot A} \\\\\\\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot (-1)\cdot 6 } }{2\cdot (-1)}\\\\\\\dfrac{1\pm \sqrt{25 } }{-2}\\\\\\\dfrac{1\pm 5}{-2}\\\\\\X_1=\dfrac{1+ 5}{-2}\Rightarrow \dfrac{6}{-2} \Rightarrow \boxed{-3}\\\\\\X_1=\dfrac{1- 5}{-2}\Rightarrow \dfrac{-4}{-2} \Rightarrow \boxed{2}[/tex]
agora vamos checar os sinais da função
vamos pegar um número menos que -3 e substituir na expressão [tex]-x^2-x+6[/tex] vou usar o -4
[tex]-x^2-x+6\\\\-(-4)^2-(-4)+6\\\\-16+4+6\\\\-16+10\\\\\boxed{-6}[/tex]
significa que os números menores que -3 darão números negativos isso quer dizer que nosso sinal tem que ser maior que -3 e menor que 2 ja que na expressão precisamos dos números que de maiores que 0
[tex]\boxed{-3 < x < 2}[/tex]
então temos essa 3 condições
[tex]x\neq 0\\x > -1\\\\-3 < x < 2[/tex]
perceba que a condição dois fala que X tem que ser maior que -1 e isso afetará a condição três então vamos juntar as duas
[tex]\boxed{x > -1} ~~+\boxed{-3 < x < 2} = \boxed{-1 < x < 2}[/tex]
Então os valores possíveis de X que é o domínio dessa função são todos os números maiores que -1 e menores que 2 com exceção do 0
[tex]\boxed{D= -1 < x < 2 ~~ x\neq 0}[/tex]
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