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Sagot :
Com o estudo das equações matriciais conseguimos determinar o valor de X
- a)[tex]X=\begin{pmatrix}20&-5\\ \:-34&7\end{pmatrix}[/tex]
- b)[tex]X=\begin{pmatrix}8&-14\\ -13&19\end{pmatrix}[/tex]
- c)[tex]X=\begin{pmatrix}0&-2\\ \:\:-2&2\end{pmatrix}[/tex]
- d)[tex]X=\begin{pmatrix}2&-4\\ -3&6\end{pmatrix}[/tex]
Resolvendo uma equação matricial
Toda equação matricial do tipo [tex]A\cdot X=B[/tex], sendo A a matriz associada incompleta do sistema, X a matriz coluna que contém as incógnitas e B a matriz coluna que contém os termos independentes, pode ser resolvida da seguinte maneira:
- [tex]A\cdot X=B\Longleftrightarrow A\cdot A^{-1}\cdot X=A^{-1}\cdot B\Longleftrightarrow I\cdot X=A^{-1}\cdot B\Longleftrightarrow X=A^{-1}\cdot B[/tex]
Ou seja, para encontrar os valores dos elementos da matriz X, matriz coluna das incógnitas, basta multiplicar a matriz inversa de A pela matriz B.
Temos:
- [tex]A=\begin{pmatrix}5&3\\ 3&2\end{pmatrix}[/tex]
- [tex]B=\begin{pmatrix}6&2\\ 2&4\end{pmatrix}[/tex]
- [tex]C=\begin{pmatrix}4&-2\\ -6&3\end{pmatrix}[/tex]
a)
[tex]AX\:+\:B\:=\:C[/tex]
- Subtraindo B de ambos os lados da equação
[tex]AX\:\:=\:C-B[/tex]
- Calculando C - B:
[tex]\begin{pmatrix}4&-2\\ -6&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6&2\\ 2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-6&\left(-2\right)-2\\ \left(-6\right)-2&3-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&-4\\ -8&-1\end{pmatrix}[/tex]
- Chamaremos essa diferença de K, temos:
[tex]A\cdot X=K[/tex]
- Multiplicando por [tex]A^{-1}[/tex]
[tex]X=A^{-1}\cdot K[/tex]
- Vamos calcular a inversa de A com a seguinte fórmula:
[tex]\begin{pmatrix}a\:&\:b\:\\ c\:&\:d\:\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{\det \begin{pmatrix}a\:&\:b\:\\ c\:&\:d\:\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}d\:&\:-b\:\\ -c\:&\:a\:\end{pmatrix}\dfrac{1}{\det \begin{pmatrix}5&3\\ 3&2\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}2&-3\\ -3&5\end{pmatrix}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}2&-3\\ -3&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-3\\ -3&5\end{pmatrix}[/tex]
Portanto,
[tex]A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-3\\ \:-3&5\end{pmatrix}[/tex]
- Agora, devemos fazer o produto [tex]A^{-1}.K[/tex]:
[tex]\begin{pmatrix}2&-3\\ \:\:-3&5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-2&-4\\ \:-8&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\left(-2\right)+\left(-3\right)\left(-8\right)&2\left(-4\right)+\left(-3\right)\left(-1\right)\\ \left(-3\right)\left(-2\right)+5\left(-8\right)&\left(-3\right)\left(-4\right)+5\left(-1\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20&-5\\ -34&7\end{pmatrix}[/tex]
- Logo,
[tex]X=\begin{pmatrix}20&-5\\ \:-34&7\end{pmatrix}[/tex]
b)
[tex]X\cdot A\:+\:B\:=\:C[/tex]
[tex]\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5&3\\ 3&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6&2\\ 2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-2\\ -6&3\end{pmatrix}[/tex]
- Multiplicando as duas primeiras matrizes e somando com a terceira, teremos:
[tex]\begin{pmatrix}5a+3b+6&3a+2b+2\\ 5c+3d+2&3c+2d+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-2\\ -6&3\end{pmatrix}[/tex]
[tex]\mathrm{Para\:ter}\:A=B\:\:a_{ij}\:=\:b_{ij}\:\mathrm{para\:todo}\:ij:[/tex]
- 5a+3b+6=4→5a+3b=-2
- 3a+2b+2=-2→3a+2b=-4
- 5c+3d+2=-6→5c+3d=-8
- 3c+2d+4=3→3c+2d=-1
Daí, teremos
[tex]a=8,\:c=-13,\:b=-14,\:d=19[/tex]
[tex]X=\begin{pmatrix}8&-14\\ -13&19\end{pmatrix}[/tex]
c)
[tex]AX\:+\:B\:=\:X[/tex]
[tex]\begin{pmatrix}5&3\\ 3&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6&2\\ 2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}[/tex]
- Multiplicando as duas primeiras matrizes e somando com a terceira, teremos:
[tex]\begin{pmatrix}5a+3c+6&5b+3d+2\\ 3a+2c+2&3b+2d+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}[/tex]
- 5a+3c+6=a→4a+3c=-6
- 3a+2c+2=c→3a+c=-2
- 5b+3d+2=b→4b+3d=-2
- 3b+2d+4=d→3b+d=-4
Daí, teremos:
[tex]a=0,\:b=-2,\:c=-2,\:d=2[/tex]
[tex]X=\begin{pmatrix}0&-2\\ \:\:-2&2\end{pmatrix}[/tex]
d)
[tex]XA\:+\:C\:=\:X[/tex]
[tex]\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5&3\\ 3&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&-2\\ -6&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}[/tex]
- Multiplicando as duas primeiras matrizes e somando com a terceira, teremos:
[tex]\begin{pmatrix}5a+3b+4&3a+2b-2\\ 5c+3d-6&3c+2d+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}[/tex]
- 5a+3b+4=a→4a+3b=-4
- 5c+3d-6=c→4c+3d=6
- 3a+2b-2=b→3a+b=2
- 3c+2d+3=d→3c+d=-3
Daí, teremos
[tex]a=2,\:c=-3,\:b=-4,\:d=6[/tex]
[tex]X=\begin{pmatrix}2&-4\\ -3&6\end{pmatrix}[/tex]
Saiba mais sobre equação matricial:https://brainly.com.br/tarefa/2598092
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