Explicação passo-a-passo:
Perímetro do losango:
P = 4l
20√3 = 4l
l = 5√3 é a hipotenusa do triângulo retângulo.
A metade da diagonal é um dos catetos:
b = 3√3
O outro cateto mede:
a² = b² + c²
25 . 3 = 9 . 3 + c²
75 = 27 + c²
75 - 27 = c²
c² = 48
c = √48
c = 4√3
Então D = 2 . 4√3 = 8√3
d = 6√3
A = D . d/2
A = 8√3 . 6√3 / 2
A = 48 . 3 / 2
A = 24 . 3
A = 72 cm²
A medida da área deste losango é 72 cm²
O losango é um quadrilátero que, assim como o quadrado, possui todos os lados com a mesa medida. Sua área pode ser calculada através da fórmula:
[tex]A = \frac{D \cdot d}{2}[/tex]
Onde D e d são as diagonais do losango.
No caso desta questão, sabemos que o perímetro de um losango é 20√3 cm, assim, conclui-se que a medida de cada lado é 20√3 / 4 = 5√3 cm.
Agora, observe o seguinte:
Traçando as diagonais, observe que a metade das diagonais, um lado do losango formam um triângulo retângulo.
Sendo assim, como sabemos a medida de uma das diagonais, e dos lados, encontramos a medida correspondente à metade da outra diagonal, por meio do teorema de Pitágoras.
Deste modo, temos:
[tex](5\sqrt{3} )^2 = \left(\frac{6\sqrt{3} }{2} \right)^2 + \left( \frac{D}{2} \right)^2\\\\75 = (3\sqrt{3})^2 + \frac{D^2}{4} \\\\75 = 27 + \frac{D^2}{4} \\\\75-27 = \frac{D^2}{4} \\\\48 = \frac{D^2}{4}\\\\48 \cdot 4= D^2\\\\192 = D^2\\\\\sqrt{192} = D\\\\\sqrt{64 \cdot 3} = D\\\\\\8\sqrt{3} = D[/tex]
Portanto, a medida da outra diagonal é 8√3, então, temos a área:
[tex]A = \frac{6\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} }{2} \\\\A = \frac{48 \cdot 3}{2} \\\\A = 72 \; cm^2[/tex]
Logo, a medida da área deste losango é 72 cm².
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