O volume do prisma pode assumir dois valores, em centímetros cúbicos:
60 ou 11760.
Mas antes de resolver, primeiro é preciso corrigir os dados fornecidos. Veja em:
https://brainly.com.br/tarefa/11674551
Um prisma é triangular e regular quando sua base é um triângulo equilátero e o prisma é reto, ou seja, suas arestas laterais são perpendiculares ao plano da base.
De acordo com o enunciado temos:
[tex]A_L = A_B + 56\sqrt{3}[/tex]
Em que (AL) é a área lateral e (AB) a área da base.
Lembrando que a área S de um triângulo equilátero de lado a é de
[tex]S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/tex]
e que são três faces laterais que são retângulos de base a e altura h; portanto, se a é a aresta da base e h a altura do prisma:
[tex]\underbrace{3 \cdot a \cdot h}_{A_L} = \underbrace{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}_{A_B} + 56\sqrt{3}[/tex]
Então, substituindo o valor de h:
[tex]3 \cdot a \cdot 5\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + 56\sqrt{3}[/tex]
Podemos dividir todas as parcelas por raiz de 3. O que nos leva a:
[tex]15a = \frac{a^2}{4} + 56[/tex]
Multiplicando todos os fatores por 4:
[tex]60a = a^2 + 224 \Leftrightarrow a^2 - 60a + 224 = 0[/tex]
Usando a fórmula de resolução das equações do segundo grau:
[tex]\Delta = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 224 = 2704 = 52^2[/tex]
Logo:
[tex]a = \frac{-(-60) \pm \sqrt{2704}}{2\cdot 1} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} a_1 = \frac{60+52}{2} = 56 \vspace{1 mm} \\ a_2 = \frac{60-52}{2} = 4 \end{array}\right.[/tex]
Vamos agora calcular o volume V do prisma, que é dado por:
[tex]V = A_B \cdot h[/tex]
Haverá duas possibilidades:
[tex]V_1 = \frac{a_1^2 \sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{56^2\sqrt{3}}{4} \cdot 5\sqrt{3} = 11760\,\textrm{cm}^3[/tex]
Ou
[tex]V_2 = \frac{a_2^2 \sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} \cdot 5\sqrt{3} = 60\,\textrm{cm}^3[/tex]
Saiba mais sobre volume de um prisma vendo esta questão:
https://brainly.com.br/tarefa/2942242
