399960 é o resultado da soma de todos os números de quatro algarismos que contém apenas 1, 2, 3, 4 e 5 sem repetição.
Explicação passo a passo:
Para resolver o problema primeiro vamos pensar no total de números possíveis com essa combinação de algarismos. Para calcularmos isto utilizaremos a análise combinatória. Para isto basta multiplicarmos os valores possíveis para cada posição do número, ou seja, 5 opções na primeira posição, 4 opções na segunda, 3 opções na terceira e 2 opções na quarta posição. Fica assim:
5 × 4 × 3 × 2 = 120
Sabemos então que são 120 números de quatro algarismos possíveis utilizando 1, 2, 3, 4 e 5 sem repeti-los. Obviamente, seria muito complicado escrevermos estas 120 possibilidades para somarmos tudo mas algumas estratégias podem facilitar. Abaixo, por exemplo, escreveremos todos os números que começam com 1. Veja:
1234
1235
1243
1245
1253
1254
1324
1325
1342
1345
1354
1352
1423
1425
1432
1435
1452
1453
1523
1524
1532
1534
1542
1543
Ao todo são 24 números. Observe que o número 1 se repete 24 vezes na primeira posição. Na verdade, se escrevêssemos todos os 120 números possíveis aqui, todos os algarismos (1, 2, 3, 4 e 5) se repetiriam 24 vezes em cada uma das quatro posições. Assim, podemos calcular o total que cada algarismo acrescenta em cada posição. Então temos que:
24 × 1 = 24
24 × 2 = 48
24 × 3 = 72
24 × 4 = 96
24 × 5 = 120
Somando tudo temos o seguinte:
24 + 48 + 72 +96 + 120 = 360
Agora consideraremos que 360 é o valor correspondente a cada posição dentro de uma conta de adição. Assim, teremos o valor 360 na posição das unidades, das dezenas, das centenas e dos milhares. Nosso cálculo ficará então representado desta forma:
360 unidades + 360 dezenas (3600) + 360 centenas (36000) + 360 milhares (360000)
360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960
Assim, temos 399960 como o resultado da soma de todos os números de quatro algarismos que contém apenas 1, 2, 3, 4 e 5 sem repetição.
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