De acordo com os dados do enunciado e feito a resolução concluímos que a soma dos 70 primeiros termos de uma PA é [tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_{70} = 61\:915 } $ }[/tex].
Progressão aritmética ( PA ) é uma sequência de números na qual a diferença entre cada termo ( a partir do segundo) e o termo anterior é uma constante, chamada razão.
Exemplos:
( 2, 7, 12, 17, ...) é uma progressão aritmética de razão 5.
(2, 2, 2,2 ) é uma progressão aritmética de razão 0.
A representação de uma P.A é [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf (a_1, a_2, a_3, \dotsi a_n) }[/tex]. Todos os termos da P.A podem ser escritos em função do primeiro termo [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf a_1 }[/tex] e da razão por meio de uma relação.
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_n = a_1 + (n-1) \cdot r } $ } }[/tex]
[tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf a_1 \to }[/tex] primeiro termo;
[tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf n \to }[/tex] número de termos;
[tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf r \to }[/tex] razão da PA;
[tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf a_n \to }[/tex] termo geral.
A soma de todos os termos da PA finita poderá ser calculada pela expressão:
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_n = \dfrac{(a_1+a_n) \cdot n}{2} } $ } }[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf n = 70 \\\sf a_1 = 22 \\\sf r = 25 \\\sf S_{70}= \:? \end{cases} } $ }[/tex]
Primeiramente devemos calcular o valor de septuagésimo termos da PA. Aplicando a definição do termo geral de uma PA.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_n = a_1 +( n-1) \cdot r } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_{70} =22 +( 70-1) \cdot 25 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_{70} =22 +69 \cdot 25 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_{70} =22 +1\:725 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a_{70} = 1\;747 }[/tex]
Agora que temos valor [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf a_{70} }[/tex], basta substituir na fórmula da soma dos termos de uma PA finita.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_{70} = \dfrac{(a_1+a_{70}) \cdot n}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_{70} = \dfrac{(22 + 1\;747) \cdot 70}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_{70} = 1\:769 \cdot 35 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf S_{70} = 61\:915 }[/tex]
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