StorClaudio, boa tarde.
O segmento que une [tex]C_0[/tex] ao ponto médio de BC é chamado de apótema e, num triângulo equilátero de lado [tex]l[/tex], é dado pela fórmula:
[tex]a=\frac{\sqrt3}6}l[/tex]
Como, no triângulo do problema, [tex]l=1[/tex], temos que: [tex]a=\frac{\sqrt3}6}[/tex]
Chamemos o segmento [tex]C_0C_1C_2...C_{\infty}[/tex] de [tex]R[/tex].
Então, por Pitágoras, temos:
[tex]R^2=a^2+(\frac12)^2 \Rightarrow R^2=\frac3{36}+\frac14=\frac{12}{36}=\frac13 \Rightarrow R=\frac{\sqrt3}3[/tex]
Chamemos o raio do círculo [tex]C_n[/tex] de [tex]r_{C_n}[/tex].
Portanto, temos que:
[tex]R=r_{C_0}+\sum_{n=1}^{\infty}2r_{C_n}=r_{C_0}+2\sum_{n=1}^{\infty}r_{C_n}=\frac{\sqrt3}3[/tex]
Como [tex]r_{C_0}=a=\frac{\sqrt3}{6} \Rightarrow 2\sum_{n=1}^{\infty}r_{C_n} = \frac{\sqrt3}3 - \frac{\sqrt3}6=\frac{\sqrt3}6[/tex]
A soma dos comprimentos dos infinitos círculos é dada por:
[tex]S=\sum_{n=0}^{\infty}2\pi r_{C_n}=2\pi \sum_{n=0}^{\infty}r_{C_n} \Rightarrow \frac{S}{\pi}=2r_{C_0}+2\sum_{n=1}^{\infty}r_{C_n}=[/tex]
[tex]=2\frac{\sqrt3}6+\frac{\sqrt3}6=3\frac{\sqrt3}6=\frac{\sqrt3}2 \Rightarrow[/tex]
[tex]S=\frac{\sqrt3}2\pi[/tex]
