Olá.
Substituir o limite na função leva à indeterminação 0/0.
Isso ocorre porque há um termo comum entre o numerador e o denominador. Encontre-o e cancele-o para poder efetuar o limite normalmente. Para encontrar o termo comum basta fatorar numerador e denominador.
[tex]$\displaystyle \frac{x^3+3x^2-x-3}{x^3-x^2+2} =\frac{x^2(x+3)-(x+3)}{x^2(x-1)+2} =\frac{(x+3)(x^2-1)}{x^2(x-1)+2} =\frac{(x+3)(x-1)(x+1)}{x^2(x-1)+2}[/tex]
Estamos com um problema no denominador, pois o sinal de adição indica que o denominador ainda não está fatorado (fatores são parcelas da operação multiplicação).
Vamos então tentar outro método para fatorar o denominador [tex]x^3-x^2+2[/tex], o teorema das raízes racionais, que diz que podemos encontrar todos os fatores lineares de um polinômio de coeficientes inteiros encontrando os candidatos de
[tex]x=\pm $\displaystyle \frac{p}{q}[/tex]
para todos os p que sejam divisores da constante (2) e para todos os q que sejam divisores do coeficiente de maior grau (1).
Bom,
todos os divisores de p = 2 são 1, 2, -1, -2, e
todos os divisores de q = 1 são 1, -1,
o que nos dá que as possíveis raízes racionais
[tex]x=\pm $\displaystyle \frac{p}{q}[/tex]
de [tex]x^3-x^2+2[/tex] sejam
[tex]x=\pm 1[/tex] e [tex]x=\pm 2[/tex].
Temos que ir testando cada uma delas até encontrar a raiz que torna fatorado o polinômio em questão. Para isso fazemos a divisão polinomial do polinômio pelo fator [tex](x - raiz)[/tex] a ser testado, até que a divisão dê exata. Podemos efetuar essa divisão através do algoritmo da divisão ou também do método de Briot-Ruffini.
A divisão exata foi encontrada com a divisão [tex](x^3-x^2+2):(x+1)[/tex], que nos deu como quociente [tex](x^2-2x+2)[/tex] e resto igual a zero. Ou seja,
[tex]x^3-x^2+2=(x+1)(x^2-2x+2)[/tex]
Encontrada a fatoração, podemos retomar o cálculo iniciado anteriormente, e eliminar o fator comum.
[tex]$\displaystyle \frac{x^3+3x^2-x-3}{x^3-x^2+2} =\frac{(x+3)(x-1)(x+1)}{(x+1)(x^2-2x+2)}=\frac{(x+3)(x-1)}{x^2-2x+2}[/tex]
Agora, sem o fator que causava a indeterminação, é só aplicar o limite normalmente, e está terminado.
[tex]$\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 3x^2 - x - 3}{x^3 - x^2 + 2}= \lim_{x \to -1}\frac{(x+3)(x-1)}{x^2-2x+2}=[/tex]
[tex]$\displaystyle =\frac{(-1+3)(-1-1)}{(-1)^2-2(-1)+2}=\frac{2(-2)}{1+2+2}=\frac{-4}{5}=- \frac{4}{5}[/tex]
Estude bastante.
Abraços.
