Olá.
Vamos dar uma revisada para retirar qualquer dúvida que surja sobre o assunto.
Para determinar a equação da reta tangente a uma circunferência por um determinado ponto, precisamos necessariamente determinar a posição relativa desse ponto. Posição esta que depende da distância do ponto ao centro da circunferência.
Existem três possibilidades para a posição relativa de um ponto P em relação a uma circunferência:
(I) P interno à circunferência, implica dizer que não é possível esboçar uma reta tangente.
(II) P sendo um ponto da circunferência. Neste caso o ponto P é o ponto de tangência e com isso será possível esboçar apenas uma reta tangente.
(III) P externo à circunferência. Podemos esboçar duas retas tangentes à circunferência que passam pelo ponto P.
Contudo, para sabermos qual a posição do ponto P em relação à circunferência, devemos calcular a distância do centro da circunferência até o ponto e compararmos ao raio da circunferência.
Beleza? Saber isso é essencial.
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Mas voltando para o exercício isso está já resolvido, pois diz que a reta tangencia a circunferência no ponto P (caso II), ou seja, P é ponto de tangência da circunferência.
Para encontrarmos a equação da reta tangente, podemos usar qualquer um dos dois caminhos:
1) utilizar a expressão da distância do centro da circunferência até a reta tangente, distância esta que deve ser igual a r,
ou podemos também
2) encontrar a equação da reta que passa por P e pelo centro C da circunferência, e depois, utilizando a relação entre os coeficientes angulares desta reta e da reta tangente à circunferência, encontrar a reta tangente.
Vamos por esse segundo método.
Sabemos:
equação da circunferência: [tex]x^2+y^2=16[/tex]
coordenadas do ponto P: [tex]P(-2\sqrt2,2\sqrt2)[/tex]
Podemos escrever a equação da circunferência na forma: [tex](x-\alpha )^2+(y-\beta )^2=r^2[/tex] , onde:
centro da circunferência: [tex]C(\alpha ,\beta )[/tex]
raio da circunferência: [tex]r[/tex]
Portanto, temos:
[tex]x^2+y^2=16[/tex]
[tex](x-0)^2+(y-0)^2=4^2[/tex]
[tex]C(0,0)[/tex]
[tex]r=4[/tex]
Coeficiente angular: [tex]m=\frac{\Delta y}{\Delta x}[/tex]
Chamemos s a reta que passa pelo centro C da circunferência e pelo ponto P tangente à circunferência.
[tex]$\displaystyle m_s=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{Y_p-Y_c}{X_p-X_c} =\frac{2\sqrt2-0}{-2\sqrt2-0} =-1[/tex]
Ok. Chamemos a reta tangente à circunferência e que passa pelo ponto P de reta t.
Duas retas são perpendiculares se o coeficiente angular de uma delas for igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra.
Portanto, se a reta s é perpendicular à reta t, temos:
[tex]$\displaystyle m_s=\frac{1}{-m_t}[/tex]
[tex]$\displaystyle m_t=\frac{1}{-m_s}[/tex]
[tex]$\displaystyle m_t=\frac{1}{-(-1)}=\frac{1}{1} =1[/tex]
E também
[tex]$\displaystyle m_t=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{Y-Y_P}{X-X_A}[/tex]
[tex]$\displaystyle 1=\frac{y-2\sqrt2}{x-(-2\sqrt2)}[/tex]
[tex]$\displaystyle 1=\frac{y-2\sqrt2}{x+2\sqrt2}[/tex]
[tex]y-2\sqrt2=x+2\sqrt2[/tex]
[tex]y=x+2\sqrt2+2\sqrt2[/tex]
[tex]y=x+4\sqrt2[/tex]
E esta é a equação da reta t, tangente à circunferência por P.
Bons estudos.
