Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que iremos realizar, é possível verificar que o valor da energia armazenada e da tensão ou também conhecida como diferença de potência (ddp) do capacitor esférico é igual a 0,625 J (Joules) e 10 kV (kilovolts).
Em nosso problema temos a seguinte afirmação: Uma partícula com carga +5,0muC e colocada no centro de uma esfera metálica, oca, com raios [tex] R _1 [/tex]= 9 cm e [tex] R _2[/tex]= 6 cm e sem carga, conforme indicado na figura. Sabendo disso, devemos calcular respectivamente a energia armazenada e a tensão não capacitor.
Na imagem podemos ver um capacitor que tem formato esférico, como queremos calcular a energia armazenada e a tensão desse capacitor devemos usar a fórmula:
[tex]\bf ~~ C =\dfrac{Q}{\Delta V}~~[/tex]
Onde:
- [tex]\sf C[/tex]: É a capacitância pelo capacitor.
- [tex]\sf \Delta V[/tex]: É a diferença de potência (ddp) ou a tensão do nosso capacitor.
- [tex]\sf Q [/tex]: É a carga elétrica que é colocada dentro do nosso capacitor.
Podemos ver que nesta fórmula temos duas variáveis que queremos encontrar, pois queremos encontrar duas variáveis dessa fórmula, esta fórmula não pode ser usada desde o início pois é necessário conhecer alguns dos dados que queremos encontrar, com os dados que nos dão o problema só é possível calcular o valor de um dado e esta é a energia armazenada pelo condensador esférico.
Mas para poder calcular a capacitância pelo capacitor esférico devemos recorrer a certas equações que nos permitem encontrar uma equação diferente para poder calcular a variável que queremos encontrar, para calcular a energia armazenada pelo capacitor esférico que devemos lembrar que a diferença de potência de um ponto A para um ponto B é dada pela expressão:
[tex]\displaystyle\sf V _ A - V _ B = -\int ^{R _2} _{R _1}\vec E \vec{d r} [/tex]
- Agora vamos lembrar que pela lei de Gauss o campo elétrico [tex]\sf \vec{E}[/tex] é dado pela expressão:
[tex]\displaystyle\sf\Longrightarrow \int \vec E \vec{d A } = \dfrac{ Q _{ int }}{ \epsilon _ 0}\\\\\\\\ \displaystyle \sf \Longleftrightarrow \vec E\int \vec{dA}= \dfrac{ Q _{ int }}{ \epsilon _ 0}\\\\\\\\ \sf \Longleftrightarrow \vec E A= \dfrac{ Q _{ int }}{ \epsilon _ 0}\\\\\\\\ \sf \Longleftrightarrow E =\dfrac{Q _{int}}{\epsilon _ 0 A}[/tex]
Como estamos lidando com um capacitor esférico, a área desse capacitor é dada pela fórmula: [tex] \sf A = 4\pi r^2[/tex], então o campo elétrico é dado pela equação:
[tex]\Longrightarrow ~~\sf \vec E =\dfrac{Q _{int}}{4\pi\epsilon _ 0 r^2 }[/tex]
Então, se substituirmos a equação do campo elétrico pela expressão que nos permite calcular a diferença de potência de um capacitor, podemos dizer que:
[tex]\displaystyle\Longrightarrow ~~\sf V _ A - V _ B = -\int ^{R _2} _{R _1}\dfrac{Q _{int}}{4\pi\epsilon _ 0 r^2 } \vec{d r}\\\\\\\\ \displaystyle \Longleftrightarrow ~~\sf \Delta V =- \dfrac{Q _{int}}{4\pi\epsilon _ 0 } \int ^{R _1} _{R _2} \dfrac{1}{r ^2} \vec{dr}\\\\\\\\ \displaystyle \Longleftrightarrow ~~\sf \Delta V =- \dfrac{Q _{int}}{4\pi\epsilon _ 0 } \int ^{R _1} _{R _2} r ^{- 2}\vec{dr}\\\\\\\\ \Longleftrightarrow \sf~~\Delta V =- \dfrac{Q _{int}}{4\pi\epsilon _ 0 } \left(\dfrac{r ^{-2+1}}{-2+1} \right)^{R _1} _{R _2} \\\\\\\\\Longleftrightarrow \sf\Delta V =- \dfrac{Q _{int}}{4\pi\epsilon _ 0 } \left(\dfrac{r ^{-1}}{-1} \right)^{R _1} _{R _2} \\\\\\\\ \Longleftrightarrow \sf\Delta V =- \dfrac{Q _{int}}{4\pi\epsilon _ 0 } \left(\dfrac{R _1 ^{-1}}{-1} - \dfrac{R _2 ^{-1}}{-1}\right)\\\\\\\\ \sf ~~\Longleftrightarrow\ \Delta V =- \dfrac{Q _{int}}{4\pi\epsilon _ 0 } \left( - \dfrac{1}{R _1} -\dfrac{1}{R _2}\right) \\\\\\\\ \Longleftrightarrow ~~\sf \Delta V =\dfrac{Q}{4\pi\epsilon _ 0 } \left(\dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2}\right)[/tex]
Sabendo que a capacitância é dada pela fórmula mostrada acima, então podemos concluir que a energia armazenada em um capacitor esférico é dada pela equação:
[tex]\sf C =\dfrac{\not\!\!Q}{\dfrac{\not\!\! Q }{ 4\pi\epsilon _ 0 } \left(\dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2}\right)}\\\\\\\\ \sf C =\dfrac{4\pi\epsilon _0(R _2 \cdot R _ 1 )}{ R _2 - R _1}[/tex]
Com a ajuda desta fórmula vamos calcular a energia armazenada pelo capacitor esférico, substituindo nossos dados obtemos:
[tex]\sf C =\dfrac{4\pi (8{,}85\cdot 10^{-12})(0{,}06 \cdot 0{,}09 )}{ 0{,}06 - 0{,}09}\\\\ \sf C =-2\cdot 10^{-11} f[/tex]
Calculando o ddp, obtemos o resultado:
[tex]\sf V =\left | \dfrac{5\cdot 10^{-6}}{-2\cdot 10^{-11}}\right |\\\\ \sf V \cong 250~ kV [/tex]
Calculando a energia armazenada:
[tex]\sf U =\dfrac{5\cdot 10^{-6}\cdot 250,000}{2}\\\\ \sf U = \dfrac{1,25}{2}\\\\ \sf U = 0{,}625~J[/tex]
Conclusão: A alternativa a) é a resposta para o problema.
