Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, é possível verificar que W não é um subespaço vetorial de V.
Um subespaço vetorial é um espaço vetorial contido em outro espaço vetorial maior. Os subespaços vetoriais herdam propriedades do espaço vetorial pai e por isso, para determinar se um subconjunto de vetores é um subespaço vetorial basta verificar o cumprimento de apenas dois axiomas, são eles:
- Se [tex] u, v \in W [/tex] então [tex]u + v \in W[/tex], ou seja, [tex]W[/tex] é fechado sob a soma.
- Se [tex]u \in W [/tex] e [tex]\lambda \in R [/tex] então [tex] \lambda u \in W[/tex], ou seja, [tex]W [/tex] é fechado sob o produto escalar.
Além disso, devemos cumprir a seguinte condição: Se [tex]W [/tex] é um subespaço de [tex] V [/tex], então [tex] 0\in W[/tex].
Se nosso espaço vetorial não satisfaz nenhum dos dois axiomas ou aquela condição, podemos dizer que [tex]W [/tex] não é um subespaço vetorial do vetor maior [tex]V [/tex].
O problema menciona que verificamos que o espaço vetorial [tex]W [/tex] que é definido como [tex] W = \{ (x , y , z)\in \mathbb R ^3| y = x ^2\}[/tex] no espaço vetorial [tex]V[/tex] definido em [tex]V =\mathbb R ^3[/tex].
Para verificar esta condição devemos provar que o espaço vetorial [tex]W [/tex] atende a condição e os 2 axiomas mostrados anteriormente, para começar vemos que o espaço vetorial [tex]W [/tex] é um subespaço vetorial de [tex]V [/tex], para isso vamos provar a primeira condição, como [tex]W [/tex] é definido por [tex] \mathbb R^3[/tex] temos que substituir [tex] ](0, 0,0)[/tex] no espaço vetorial [tex]W [/tex] e temos que mostrar que uma igualdade é válida.
[tex] \Longrightarrow ~~y = x ^2\\\\\\\\ \Longleftrightarrow~~ 0= 0^2\\\\\\\\ \Longleftrightarrow~~ 0=0\quad0\in W [/tex] (i)
Aparentemente nosso espaço vetorial [tex]W [/tex] cumpriu nossa primeira propriedade, agora devemos provar que satisfaz ambos os axiomas, para provar o primeiro axioma devemos provar que [tex]u + v \in W[/tex] , ou seja, a soma dos vetores u e v deve ser idêntica a [tex]W[/tex], para isso devemos saber que os vetores u e v são definidos como:
[tex]u = (u _1 , u _2 , u _3 )\in W[/tex]
[tex]v = (v _1 , v _2 , v _3 )\in W[/tex]
Como estamos em [tex]\mathbb R ^3[/tex], devemos saber que o sistema de coordenadas é definido como [tex] (x , y , z)[/tex], se soubermos disso e o substituirmos no espaço vetorial [tex]W [/tex] temos:
[tex]u=( u _1 ^2,u _2)[/tex]
[tex]v=( v _1 ^2,v _2)[/tex]
Se somarmos esses dois vetores podemos obter a expressão:
[tex]\Longrightarrow ~~u+v = ( u _1 ^2, u _ 2) + (v _1 ^2, v _2)\\\\\\\\\Longleftrightarrow~~ u + v = (u _1 ^2+ v _1 ^2, u _2 + v _2 )[/tex]
Se substituirmos esses valores em nosso espaço vetorial [tex]W [/tex], obtemos a expressão:
[tex] \Longrightarrow~~ u _2+ v _2 = u _1 ^2+ v _1 ^2[/tex] (ii)
Vemos que essa igualdade não é idêntica à do espaço vetorial [tex]W [/tex], pois a parte da variável "x" é toda ao quadrado e não podemos fatorar essa expressão, então como não pode ser provada igualdade vamos procure um contra-exemplo .O que faremos é atribuir valores numéricos a x,y e z que atendam a essa igualdade em nosso vetor u, nossos valores numéricos são:
[tex]u+v~~ \begin{cases}u = (1,-1,3)\\ v =(2,4,6)\end{cases}[/tex]
[tex] u + v = (1,-1,3)+(2,4,6)\\\\\\\\ u+v =(1+2,-1+4,3+6)\\\\\\\\ u+v = (3,3,9)[/tex]
Substituímos o valor numérico de nossa soma vetorial em nossa equação de nosso espaço vetorial [tex]W[/tex]:
[tex] x = y ^2\\\\\\\\ 3 = 3^2\\\\\\\\ 3\neq 9\quad u+v\notin W[/tex]
Vemos que este pequeno exemplo era falso, como este axioma acabou por ser falso, não é necessário provar o seguinte.
Conclusão: O espaço vetorial [tex]W [/tex] não é um subespaço vetorial de [tex]V [/tex].
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Bons estudos e espero que te ajude :-)
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