Com base nos estudos dos números complexos temos que a única alternativa correta é III)
Os estudiosos da Antiguidade sempre buscaram uma fórmula resolutiva de uma equação cúbica. Eles acreditavam que poderia ser feito algo parecido com a fórmula de Bhaskara, a fórmula resolutiva de uma equação quadrática. Embora tivessem encontrado formas de resolver casos particulares das cúbicas, foi apenas no sec XVI, com a publicação de Ars magna, de Cardano, que pôde ter conhecimento de uma fórmula geral para resolver equação cúbica.
A fórmula publicada resolvia toda equação do tipo x³ + px = q. Embora existam outros tipo, todas são possíveis de serem transformadas nessa equação por meio de uma mudança de variável. A fórmula é dada por
[tex]x=\sqrt[3]{\sqrt{\left(\frac{p}{q}\right)^3+\left(\frac{q}{2}\right)^2}+\frac{q}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\left(\frac{p}{q}\right)^3+\left(\frac{q}{2}\right)^2}-\frac{q}{2}}[/tex]
A primeira fórmula resolutiva para uma equação cúbica se deve a Scipione del Ferro, que resolvia apenas um tipo de cúbica. Del Ferro deteve essa fórmula até o momento de sua morte, quando a comunicou a seu aprendiz, Antonio Maria Fior. Este ficou sabendo que outro matemático, Nicolò Tartaglia, também conhecia uma fórmula resolutiva para qualquer cúbica e decidiu desafiá-lo para determinar quem seria o detentor da fórmula. O desafio compreendia a resolução de cúbicas proposta de um para outro. Fior não esperava que Tartaglia o vencesse, pois ele não conseguiu resolver nenhuma equação proposta por Tartaglia, que resolveu todas propostas por Fior.
Isso deve ao fato de Tartaglia, além de conhecer a fórmula resolutiva, saber transformar qualquer cúbica numa equação do tipo x³ + px = q; já Fior conhecia a fórmula resolutiva para apenas um tipo de cúbica. O desafio ficou conhecido e Cardano, chamou Tartaglia, prometendo-lhe ascensão e reconhecimento e até mesmo a publicação de um livro, mas que para isso deveria compartilhar a fórmula resolutiva da cúbica. Tartaglia não pensou duas vezes e logo lhe forneceu a fórmula resolutiva.
O que ele não esperava era que Cardano a publicasse em seus livro. Ântonito, Tartaglia foi pedir explicações a Cardano, o que lhe custou a vida. A primeira dificuldade encontrada por Cardano surgiu quando aplicou a fórmula na equação x³ - 15x = 4. Ele sabia que x = 4 era uma solução, porém, por meio da fórmula, chegou a [tex]\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}[/tex]. Podemos observar que nessa solução aparece a raiz quadrada de um número negativo, considerando um valor inexistente na época.
Formas de um número complexo
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