Resposta:
"Conhecemos como MMC o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números. Encontrar o MMC entre dois números é procurar o menor número múltiplo de dois ou mais números simultaneamente. Para encontrar o MMC entre dois números, podemos fazer uma lista dos múltiplos de cada um deles até achar um que seja comum a ambos, ou então utilizar o método de decomposição em fatores primos ou até mesmo o de fatoração sucessiva. Existem propriedades importantes para o mínimo múltiplo comum."
"Conhecemos como MMC o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números. Encontrar o MMC entre dois números é identificar o menor número inteiro diferente de zero e múltiplo de ambos simultaneamente. Para compreender o que é o MMC, é fundamental saber o que são os múltiplos de número.
Conhecemos como múltiplos de um número o produto obtido quando multiplicamos um número natural por outro número natural.
Exemplo 1:
M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96…}
Note que o conjunto dos números múltiplos de 12 é formado pelos resultados de 12 vezes 0, 12 vezes 1, 12 vezes 2, e assim sucessivamente. O conjunto de múltiplos é infinito.
Explicação passo a passo:
O mínimo múltiplo comum é o menor dos múltiplos comuns aos números de um conjunto
O mínimo múltiplo comum (MMC) entre números inteiros é o menor número, também inteiro, que é múltiplo de todos esses números ao mesmo tempo. Por exemplo, o MMC entre 2 e 12 é 12, pois os múltiplos de 2 são 2, 4, 6, 8, 10, 12… e os de 12 são: 12, 24, …
Em outras palavras, considere um conjunto A de números naturais não negativos e os conjuntos A1, A2, … formados pelos múltiplos de cada um dos elementos do conjunto A. O menor elemento comum dentro dos conjuntos A1, A2, … é o mínimo múltiplo comum dos elementos do conjunto A. Em outras palavras, o menor elemento da intersecção A1 ∩ A2 ∩ A2 ∩… é o MMC de A.
Essa definição e o exemplo dado antes dela ilustram um dos métodos que podem ser usados para encontrar o MMC de um conjunto de números.
A notação usada para representar o mínimo múltiplo comum é: MMC(a, b, c) = d, sendo “d” o
Como encontrar o mínimo múltiplo comum
O método mais básico que pode ser usado para encontrar o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números é escrever os seus múltiplos até encontrar o primeiro que é comum a todos os números observados.
O MMC entre os números 2, 4 e 12 pode ser encontrado fazendo-se:
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, …}
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20, 24, …}
M(12) = {12, 24, 36, 48, …}
Note que a intersecção entre os três conjuntos de múltiplos é:
M(2) ∩ M(4) ∩ M(12) = {12, 24, …}
O menor número dessa intersecção é 12, portanto, MMC(2, 4, 12) = 12.
Também podemos simplificar o pensamento e apenas apontar o número 12 como “menor múltiplo de 2, 4 e 12”, evitando a necessidade de incluir a intersecção entre os conjuntos de múltiplos na solução.
Método prático para calcular o mínimo múltiplo comum
O método prático para calcular o mínimo múltiplo comum baseia-se na decomposição em fatores primos desses números, mas existe um algoritmo que pode facilitar o processo de encontrá-lo.
Esse algoritmo consiste em colocar os números cujo MMC será calculado lado a lado e separados por vírgula. Depois, encontramos o menor número primo que divide pelo menos um deles e realizamos a divisão, colocando o resultado logo abaixo dele. Se algum dos elementos não for divisível por esse número, basta repeti-lo no lugar do resultado. Repete-se esse processo até que o resultado de todas as divisões seja 1. O MMC será o produto de todos os números primos usados nas divisões.
Veja um exemplo:
Para encontrar o mínimo múltiplo comum entre 144, 26 e 10, faremos:
144, 26, 10 | 2
72, 13, 5 | 2
36, 13, 5 | 2
18, 13, 5 | 2
9, 13, 5 | 3
3, 13, 5 | 3
1, 13, 5 | 5
1, 13, 1 | 13
1, 1, 1 |
Logo, MMC(144, 26, 10) = 2·2·2·2·3·3·5·13 = 9360.
Características e propriedades do MMC
A lista a seguir mostra algumas características do mínimo múltiplo comum e, em seguida, algumas das propriedades dessa operação.
1 – O MMC também poderia ser escrito na forma fatorada 24·32·5·13.
2 – Ao fazer a decomposição em fatores primos dos três números, encontraremos:
144 = 24·32
26 = 2·13
10 = 2·5
Assim, o mínimo múltiplo comum pode ser definido como o produto entre os fatores primos dos números excluindo-se aqueles que possuem o menor expoente.
Note, por exemplo, que tanto 144 quanto 26 e 10 possuem o fator primo 2, mas no MMC só foi aproveitado 24, que é aquele que possui o maior expoente.
3 – A observação anterior leva às seguintes propriedades:
a) MMC(a, a, … a) = a
b) MMC(a, a2, a3, …, an) = an
c) MMC entre números que são primos entre si, ou seja, que não possuem fatores primos em comum, é sempre igual a 1.
d) O MMC entre números que são múltiplos é sempre o maior entre eles. O MMC de 5 e 10, por exemplo, é 10
