Com base no Teorema de Tales e na fórmula de Bháskara, concluímos que o perímetro desse triângulo é 38 cm
Para esse resultado vamos precisar:
→ O Teorema de Tales diz que: A intersecção de um feixe de retas paralelas por duas retas transversais forma segmentos (entre as paralelas e equivalentes) proporcionais. Ou seja, a razão entre os segmentos formados em uma das transversais é igual à razão entre os segmentos equivalentes formados na outra transversal.
→ Cálculo da equação do 2º grau com fórmula de Bháscara:
[tex]\large \text {$ x= \dfrac{-b \pm \sqrt {\Delta} }{2.a} $}[/tex] [tex]\large \text {$Com:~~\Delta= b^2-4.a.c $}[/tex]
→ Perímetro equivale a soma das medidas dos lados de um polígono, ou seja, a medida do contorno.
Vamos à questão:
⇒ De acordo com o Teorema de tales:
[tex]\large \text {$ \dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{x+4}{x} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ (x-1)~.~x = 3~.~(x+4) $}[/tex]
[tex]\large \text {$ x^2 - x = 3x + 12 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ x^2 - x -3x = 12 $}[/tex]
⇒ Calculando as raízes desta equação do 2º grau por Bháskara:
[tex]\large \text {$ x^2 -4x - 12 = 0 $}[/tex] a = 1, b = -4, c =
[tex]\large \text {$\Delta= b^2-4.a.c $}[/tex]
[tex]\large \text {$\Delta= (-4)^2-4.1.(-12) $}[/tex]
[tex]\large \text {$\Delta= 16 + 48 $}[/tex]
[tex]\large \text {$\Delta= 64 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ x= \dfrac{-b \pm \sqrt {\Delta} }{2.a} \Rightarrow x= \dfrac{-(-4) \pm \sqrt {64} }{2.1} \Rightarrow x= \dfrac{4 \pm 8 }{2} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ x_1= \dfrac{4 + 8 }{2} \Rightarrow x_1= \dfrac{12}{2} \Rightarrow x_1= 6 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ x_2= \dfrac{4 - 8 }{2} \Rightarrow x_2= \dfrac{-4}{2} \Rightarrow x_2= -2 $}[/tex]
Como estamos tratando de medidas, o valor negativo não procede.
[tex]\large \text {$ Portanto, ~\boxed{x= 6} $}[/tex]
⇒ Finalmente calculando o Perímetro (P):
[tex]\large \text {$ P = AB + BC + CA $}[/tex]
[tex]\large \text {$ AB = x-1 + 3 \Rightarrow AB= 6 - 1 + 3 \Rightarrow AB = 8~cm $}[/tex]
[tex]\large \text {$ BC = 14 ~cm ~(conforme ~dado~ da~ quest\tilde{a}o)$}[/tex]
[tex]\large \text {$ CA = x + 4 + x \Rightarrow CA = 6 + 4 + 6 \Rightarrow CA = 16~cm $}[/tex]
[tex]\large \text {$ P = 8 + 14 + 16 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ P = \boxed{38~cm \Rightarrow Perimetro} $}[/tex]
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