De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado podemos afirmar que a área aproximada em m² do anel luminoso é de [tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ A_{\sf coroa} \approx 9{,}50\: m^2 } $ }[/tex].
A refração da luz é a variação de velocidade sofrida pela luz ao passar de um meio de propagação para outro.
Ângulo limite é um ângulo para qual um raio de luz incidente refrata-se e sai paralelo à superfície.
O seno do ângulo limite é a razão entre o índice menor pelo o índice maior.
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ \sin{L} = \dfrac{n_{\sf menor} }{ n_{maior} } } $ } }[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf H = 1{,}8\: m \\ \sf r = 1{,}0\: m\\ \sf n_{\sf ar} = 1\\ \sf n_{\sf \acute{a}gua } = 1{,}33 = \dfrac{4}{3} \\ \sf \pi = 3 \\\sf A_{\sf coroa } \approx \: ?\: m^2 \end{cases} } $ }[/tex]
Analisando as figuras em anexo, temos:
A área aproximada em m² do anel luminoso é dado por:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ A_{\sf coroa} = \pi \cdot R^2 - \pi \cdot r^2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ A_{\sf coroa} = \pi \cdot (R^{2} -r^{2}) } $ }[/tex]
Precisamos deter o valor R grande aplicando as razões trigonométricas no triangulo retângulo.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \tan{L} = \dfrac{\sin{L}}{\cos{L}} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \sin{L} = \dfrac{ \text{ \sf {medida do cateto oposto ao {\^a}ngulo} }}{ \text{ \sf {medida da hipotenusa } } } } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \sin{L} = \dfrac{n_{\sf menor} }{ n_{maior} } = \dfrac{1}{4/3} = \dfrac{3}{4} } $ }[/tex]
Determinar o cosseno, aplicando a relação fundamental da trigonometria.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ ( \sin{L})^2 + (\cos{L})^2 = 1 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \left( \frac{3}{4} \right )^2 + (\cos{L})^2 = 1 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ (\cos{L})^2 = 1 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{16 - 9}{16} = \dfrac{7}{16} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \cos{L} = \sqrt{\dfrac{7}{16} } = \dfrac{\sqrt{7} }{4} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{\dfrac{R}{1{,}8} = \frac{3/4}{ \sqrt{7} / 4} \Rightarrow \sqrt{7} \: R = 3 \cdot 1{,}8 \Rightarrow R = \dfrac{5{,}4}{\sqrt{7} } } $ }[/tex]
Agora determinar a área da coroa.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ A_{\sf coroa} = \pi \cdot (R^{2} -r^{2}) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ A_{\sf coroa} = 3 \cdot \left ( \left ( \dfrac{5{,}4}{ \sqrt{7} } \right)^2 -1^{2} \right) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ A_{\sf coroa} = 3 \cdot \left ( \dfrac{29{,}16}{7} -1 \right) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ A_{\sf coroa} = 3 \cdot \left ( \dfrac{29{,}16 - 7}{7} \right) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ A_{\sf coroa} = 3 \cdot \dfrac{22{,}16 }{7} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ A_{\sf coroa} = \dfrac{66{,}48 }{7} } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf A_{\sf coroa} \approx 9{,}50 \: m^2 }[/tex]
