1) Represente os seguintes pontos no plano cartesiano: A (3, 2), B(- 2, 5), C (0, - 1), D (- 4, 1) e E (1, - 3).
Imagem em anexo
2) Utilizando os pontos da questão 1, determine o ponto médio do segmento determinado pelos dois pontos que pertencem ao mesmo quadrante.
Os pontos que pertencem ao mesmo quadrante são os pontos B e D, que estão no 2° quadrante.
[tex]M_{BD} =(\frac{x_{B}+x_{D}}{2},\frac{y_{B}+y_{D}}{2})\\\\M_{BD} =(\frac{(-2)+(-4)}{2},\frac{(5)+(1)}{2})\\\\M_{BD} =(\frac{-2-4}{2},\frac{5+1}{2})\\\\M_{BD} =(\frac{-6}{2},\frac{6}{2})\\\\M_{BD}=(-3, 3)[/tex]
3) Os pontos (3, 6), (1, 2) e (- 1, - 4) são pontos médios dos lados de um triângulo. Determine os vértices deste triângulo.
Podemos chamar os vértices do triângulo de (a, b), (c, d) e (e, f). Assim, a partir do ponto médio, calculamos os valores de a, b, c, d, e e f.
Na imagem em anexo, estão resolvidas todas as equações necessárias para encontrar os vértices do triângulo a partir dos pontos médios.
Vértice = (1, 0), (5, 12) e (- 3, - 8).
4) Determine o baricentro do triângulo da questão 3.
[tex]G=(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\\\\G=(\frac{1+5-3}{3},\frac{0+12-8}{3})\\\\G=(\frac{3}{3},\frac{4}{3})\\\\G=(1,\frac{4}{3})[/tex]
5) Escolha uma mediana do triângulo da questão 3 e mostre que o baricentro divide a mediana em razão 1:2
Vamos calcular a distância entre o vértice C (5, 12) e o baricentro G (1, [tex]\frac{4}{3}[/tex]):[tex]d_{CG}=\sqrt{(x_{C}-x_{G})^{2}+(y_{C}-y_{G})^{2}}\\\\d_{CG}=\sqrt{(5-1)^{2}+(12-\frac{4}{3})^{2}}\\\\d_{CG}=\sqrt{(4)^{2}+(\frac{32}{3})^{2}}\\\\d_{CG}=\sqrt{16+\frac{1024}{9}}\\\\d_{CG}=\sqrt{\frac{1168}{9}}\\\\d_{CG}=\frac{4\sqrt{73}}{3}[/tex]
Agora, vamos calcular a distância entre o baricentro G (1, [tex]\frac{4}{3}[/tex]) e o ponto médio do segmento AB M(- 1, - 4):
[tex]d_{GM}=\sqrt{(x_{G}-x_{M})^{2}+(y_{G}-y_{M})^{2}}\\\\d_{GM}=\sqrt{(1-(-1))^{2}+(\frac{4}{3}-(-4))^{2}}\\\\d_{CG}=\sqrt{(1+1)^{2}+(\frac{4}{3}+4)^{2}}\\\\d_{CG}=\sqrt{(2)^{2}+(\frac{16}{3})^{2}}\\\\d_{CG}=\sqrt{4+\frac{256}{9}}\\\\d_{CG}=\sqrt{\frac{292}{9}}\\\\d_{CG}=\frac{2\sqrt{73}}{3}[/tex]
Está provado que a distância entre o vértice C e o baricentro é o dobro da distância entre o baricentro e o ponto médio do segmento AB, ou seja, a mediana é dividida em duas parte onde uma é o dobro da outra (1:2).
