Resposta: 2
Individualmente, cada um dos logaritmos não pode ser calculado sem o auxílio de calculadora e, para contornar esta situação, aplicaremos as propriedades do logaritmo do produto e do logaritmo da potência para reescrevermos a expressão dada como um único logaritmo.
[tex]\sf Propriedade~do~Logaritmo~do~Produto:~~\boxed{\sf \log_b(a\cdot c)=\log_ba+\log_bc}\\\\\sf Propriedade~do~Logaritmo~da~potencia:~~\boxed{\sf \log_ba^c=c\cdot \log_ba}[/tex]
[tex]\sf Aplicando~a~propriedade~do~logaritmo~da~potencia~em~-2\cdot\log_43:\\\\\\-2\cdot \log_43~=~\log_43^{-2}\\\\\\-2\cdot \log_43~=~\log_4\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\\\\\\-2\cdot \log_43~=~\log_4\left(\dfrac{1}{3}\right)\\\\\\-2\cdot \log_43~=~\log_4\left(\dfrac{1^2}{3^2}\right)\\\\\\\boxed{\sf -2\cdot \log_43~=~\log_4\left(\dfrac{1}{9}\right)}[/tex]
Substituindo este logaritmo na expressão e aplicando a propriedade do logaritmo do produto, ficamos com:
[tex]\sf \log_46~+~\log_424~+~\log_4\left(\dfrac{1}{9}\right)~=~\log_4\left(6\cdot 24\cdot \dfrac{1}{9}\right)\\\\\\\sf \log_46~+~\log_424~+~\log_4\left(\dfrac{1}{9}\right)~=~\log_4\left(\dfrac{6\cdot 24\cdot 1}{9}\right)\\\\\\\sf \log_46~+~\log_424~+~\log_4\left(\dfrac{1}{9}\right)~=~\log_4\left(\dfrac{144}{9}\right)\\\\\\\boxed{\sf \sf \log_46~+~\log_424~+~\log_4\left(\dfrac{1}{9}\right)~=~\log_416}[/tex]
Este logaritmo podemos, sim, resolver aplicando a definição de logaritmo, como é mostrado abaixo.
[tex]\sf De finicao~de~Logaritmo:~~\boxed{\sf \log_ba=c~~\Leftrightarrow~~a=b^c}[/tex]
[tex]\sf Aplicando~a~de finicao~ao~logaritmo~\log_416:\\\\\\\log_416=x~~\Leftrightarrow~~\boxed{\sf 16=4^x}\\\\\\Igualando~as~bases~nos~dois~lados~da~equacao~16=4^x:\\\\\\4^2~=~4^x\\\\\\Como~as~duas~potencias~possuem~mesma~base,~para~que~a~igualdade~seja\\mantida,~necessariamente,~os~expoentes~devem~tambem~ser~iguais, ~logo:\\\\\\\not\!4\,^2~=~\not\!4\,^x\\\\\\\boxed{\sf x~=~2}[/tex]
Assim, a expressão dada, que simplificamos como log₄16 resulta em 2.
[tex]\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio[/tex]
