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Sagot :
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que uma das possíveis equações gerais do plano bem como o valor do parâmetro "k" são, respectivamente:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 6x - 4y - 5z + 7 = 0\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf k = -\frac{7}{5}\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam os pontos:
[tex]\Large\begin{cases} A(0, 3, -1)\\B(1, 0, 2)\\C(-1, 1, 0)\\D(1, 5, k)\end{cases}[/tex]
Para resolver esta questão, devemos:
- Determinar o primeiro vetor diretor "u":
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{u} = \overrightarrow{AB} = B - A = (1, 0, 2) - (0, 3, -1)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (1-0, \,0 -3,\, 2-(-1)) = (1, -3, 3)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\vec{u} = (1, -3, 3)\end{gathered}$}[/tex]
- Determinar o segundo vetor diretor "v":
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{v} = \overrightarrow{AC} = C - A = (-1, 1, 0) - (0, 3, -1)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (-1-0, \,1 -3,\, 0-(-1)) = (-1, -2, 1)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\vec{v} = (-1, -2, 1)\end{gathered}$}[/tex]
- Determinar o vetor normal "n" ao plano. Para isso, devemos calcular o produto vetorial entre "u" e "v":
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{n} = \vec{u}\wedge \vec{v}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\1 & -3 & 3\\-1 & -2 & 1\end{vmatrix}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \begin{vmatrix}-3 & 3\\-2 & 1 \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}1 & 3\\-1 & 1 \end{vmatrix}\vec{i} + \begin{vmatrix}1 & -3\\-1 & -2 \end{vmatrix}\vec{k}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (-3 + 6)\vec{i} - (1 + 3)\vec{j} + (-2 -3)\vec{k}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 6\,\vec{i} - 4\,\vec{j} - 5\,\vec{k}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (6, -4, -5)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{n} = (6, -4, -5)\end{gathered}$}[/tex]
- Montar a equação geral do plano cujo vetor normal é "n" e passa por um dos três primeiros pontos dados - vou utilizar o ponto A. Para isso, devemos utilizar a seguinte fórmula:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{A} + Y_{n}\cdot Y_{A} + Z_{n}\cdot Z_{A}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 6\cdot x + (-4)\cdot y + (-5)\cdot z = 6\cdot0 + (-4)\cdot3 + (-5)\cdot(-1)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 6x - 4y - 5z = 0 - 12 + 5\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 6x - 4y - 5z = -7\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 6x - 4y - 5z + 7 = 0\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, uma das possíveis equações gerais do plano é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \pi: 6x - 4y - 5z + 7 = 0\end{gathered}$}[/tex]
- Calcular o valor do parâmetro "k" de modo que o ponto "D" pertença ao plano. Para isso, devemos substituir as coordenadas do ponto "D" na equação do plano e calcular o valor de "k". Então, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 6\cdot1 - 4\cdot5 - 5\cdot k + 7 = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 6 - 20 - 5k + 7 = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -5k = -6 + 20 - 7\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -5k = 7\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} k = - \frac{7}{5}\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, o valor de "k" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} k = -\frac{7}{5}\end{gathered}$}[/tex]
Desta forma, o ponto "D" seria:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} D\bigg(1, 5, -\frac{7}{5}\bigg)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
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[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
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