Bem-vindo ao Sistersinspirit.ca, a melhor plataforma de perguntas e respostas para obter soluções rápidas e precisas para todas as suas dúvidas. Obtenha respostas rápidas e confiáveis para suas perguntas de nossa dedicada comunidade de especialistas em nossa plataforma. Descubra soluções detalhadas para suas dúvidas de uma ampla gama de especialistas em nossa plataforma amigável de perguntas e respostas.
Sagot :
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que uma das possíveis equações gerais do plano bem como o valor do parâmetro "k" são, respectivamente:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 6x - 4y - 5z + 7 = 0\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf k = -\frac{7}{5}\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam os pontos:
[tex]\Large\begin{cases} A(0, 3, -1)\\B(1, 0, 2)\\C(-1, 1, 0)\\D(1, 5, k)\end{cases}[/tex]
Para resolver esta questão, devemos:
- Determinar o primeiro vetor diretor "u":
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{u} = \overrightarrow{AB} = B - A = (1, 0, 2) - (0, 3, -1)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (1-0, \,0 -3,\, 2-(-1)) = (1, -3, 3)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\vec{u} = (1, -3, 3)\end{gathered}$}[/tex]
- Determinar o segundo vetor diretor "v":
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{v} = \overrightarrow{AC} = C - A = (-1, 1, 0) - (0, 3, -1)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (-1-0, \,1 -3,\, 0-(-1)) = (-1, -2, 1)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\vec{v} = (-1, -2, 1)\end{gathered}$}[/tex]
- Determinar o vetor normal "n" ao plano. Para isso, devemos calcular o produto vetorial entre "u" e "v":
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{n} = \vec{u}\wedge \vec{v}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\1 & -3 & 3\\-1 & -2 & 1\end{vmatrix}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \begin{vmatrix}-3 & 3\\-2 & 1 \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}1 & 3\\-1 & 1 \end{vmatrix}\vec{i} + \begin{vmatrix}1 & -3\\-1 & -2 \end{vmatrix}\vec{k}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (-3 + 6)\vec{i} - (1 + 3)\vec{j} + (-2 -3)\vec{k}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 6\,\vec{i} - 4\,\vec{j} - 5\,\vec{k}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (6, -4, -5)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{n} = (6, -4, -5)\end{gathered}$}[/tex]
- Montar a equação geral do plano cujo vetor normal é "n" e passa por um dos três primeiros pontos dados - vou utilizar o ponto A. Para isso, devemos utilizar a seguinte fórmula:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{A} + Y_{n}\cdot Y_{A} + Z_{n}\cdot Z_{A}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 6\cdot x + (-4)\cdot y + (-5)\cdot z = 6\cdot0 + (-4)\cdot3 + (-5)\cdot(-1)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 6x - 4y - 5z = 0 - 12 + 5\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 6x - 4y - 5z = -7\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 6x - 4y - 5z + 7 = 0\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, uma das possíveis equações gerais do plano é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \pi: 6x - 4y - 5z + 7 = 0\end{gathered}$}[/tex]
- Calcular o valor do parâmetro "k" de modo que o ponto "D" pertença ao plano. Para isso, devemos substituir as coordenadas do ponto "D" na equação do plano e calcular o valor de "k". Então, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 6\cdot1 - 4\cdot5 - 5\cdot k + 7 = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 6 - 20 - 5k + 7 = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -5k = -6 + 20 - 7\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -5k = 7\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} k = - \frac{7}{5}\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, o valor de "k" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} k = -\frac{7}{5}\end{gathered}$}[/tex]
Desta forma, o ponto "D" seria:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} D\bigg(1, 5, -\frac{7}{5}\bigg)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
- https://brainly.com.br/tarefa/12563022
- https://brainly.com.br/tarefa/12723145
- https://brainly.com.br/tarefa/27973259
- https://brainly.com.br/tarefa/16983186
- https://brainly.com.br/tarefa/6019002
- https://brainly.com.br/tarefa/8122459
- https://brainly.com.br/tarefa/17117351
- https://brainly.com.br/tarefa/52598208
- https://brainly.com.br/tarefa/52834713
- https://brainly.com.br/tarefa/53164824
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Obrigado por visitar. Nosso objetivo é fornecer as respostas mais precisas para todas as suas necessidades informativas. Volte em breve. Esperamos que isso tenha sido útil. Por favor, volte sempre que precisar de mais informações ou respostas às suas perguntas. Obrigado por confiar no Sistersinspirit.ca. Volte novamente para obter mais informações e respostas.