Resposta: [tex]A=2^{1000}.[/tex]
Explicação passo a passo:
A proposta desta tarefa é simplificar a expressão usando completamento de fatoriais.
Escrevamos a expressão como
[tex]A=\dfrac{N}{D}=N\cdot \dfrac{1}{D} \qquad\mathrm{(i)}[/tex]
sendo
[tex]N=1001\cdot 1002\cdot 1003\cdot\ldots\cdot 2000\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]
[tex]D=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot 1999\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]
Manipularemos separadamente o numerador e o denominador.
Oberserve em (ii) que para completar [tex]2000!,[/tex] está faltando o produto dos naturais de 1 a 1000, ou seja, [tex]1000!.[/tex] Multiplicando e dividindo [tex]N[/tex] por
[tex]1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot 999\cdot 1000=1000![/tex]
a expressão (ii) fica
[tex]\Longleftrightarrow\quad N=\dfrac{1000! \cdot (1001\cdot 1002\cdot 1003\cdot\ldots\cdot 2000)}{1000!}\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=\dfrac{2000!}{1000!}\qquad\mathrm{(iv)}[/tex]
Por outro lado, em (iii) temos o produto dos naturais ímpares menores que 2000. Para completar [tex]2000!,[/tex] está faltando o produto dos naturais pares de 2 a 2000, que é dado por
[tex]2\cdot 4\cdot 6\cdot\ldots\cdot 1998\cdot 2000\\\\ =(2\cdot 1)\cdot (2\cdot 2)\cdot (2\cdot 3)\cdot\ldots\cdot (2\cdot 999)\cdot (2\cdot 1000)[/tex]
Reagrupe os fatores 2:
[tex]=(\underbrace{2\cdot 2\cdot\ldots\cdot 2} _{1000\mathrm{~fatores}})\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot 999\cdot 1000)\\\\ =2^{1000}\cdot 1000!\qquad\mathrm{(v)}[/tex]
Multiplicando e dividindo pelo produto dos pares de 2 a 2000, que é igual a [tex]2^{1000}\cdot 1000!,[/tex] a expressão (iii) fica
[tex]\Longleftrightarrow\quad D=\dfrac{(2^{1000}\cdot 1000!)\cdot (1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot 1999)}{2^{1000}\cdot 1000!}\\\\ \Longleftrightarrow\quad D=\dfrac{2000!}{2^{1000}\cdot 1000!}\qquad\mathrm{(vi)}[/tex]
Substituindo as expressões (iv) e (vi), a expressão (i) fica
[tex]\Longleftrightarrow\quad A=\dfrac{2000!}{1000!}\cdot\dfrac{1}{~\frac{2000!}{2^{1000}\cdot 1000!}~}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad A=\dfrac{2000!}{1000!}\cdot \dfrac{2^{1000}\cdot 1000!}{2000!}\\\\ \Longleftrightarrow\quad A=2^{1000}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}[/tex]
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