Com o cálculo realizado concluímos que o valor de a = 1.
A distância entre dois pontos A e B, quaisquer que sejam [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf A(\:x_A, y_A\:) $ }[/tex] e [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf B(\: x_B, y_B\:) $ }[/tex].
O triângulo ABC é retângulo em C, logo podemos usar o teorema de Pitágoras: ( Vide a figura em anexo ).
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ d(A,B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2+(y_B-y_A)^2} } $ }[/tex]
Os pontos equidistantes são pontos que tem a mesma distância de um ponto para o outro ponto ou reta ou plano.
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf P(\: a, 2\:) \\ \sf A(\:3,1\:) \\ \sf B(\:2, 4\:) \\\sf a = \:? \end{cases} } $ }[/tex]
Como P é equidistante de A e B, devemos ter:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{d(P,A) = d(P,B) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \sqrt{(x_P - x_A)^2+(y_P-y_A)^2} = \sqrt{(x_P - x_B)^2+(y_P-y_B)^2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \sqrt{(a - 3)^2+(2-1)^2} = \sqrt{(a - 2)^2+(2-4)^2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \sqrt{(a - 3)^2+(1)^2} = \sqrt{(a - 2)^2+(-2)^2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \left( \sqrt{(a - 3)^2+1}\right)^2 = \left(\sqrt{(a - 2)^2+4} \right)^2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ (a-3)^2+1 = (a-2)^2 + 4 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a^{2} -6a + 9 + 1 = a^{2} -4a + 4 + 4 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a^{2} -a^{2} -6a+4a +9 +1 -4-4 = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ -2a + 10-8 = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ -2a +2 = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ -2a = - 2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a = \dfrac{-2}{-2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a = 1 }[/tex]
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