Resposta:
a) O resto da divisão de [tex]3^{90}[/tex] por 19 é igual a 1 (um).
b) O resto da divisão de [tex]5^{120}[/tex] por 41 é igual a 1 (um).
Explicação passo a passo:
- Pequeno Teorema de Fermat (P.T.F.):
Sejam a, p naturais, p primo e mdc(a, p) = 1. Então,
p divide aᵖ⁻¹ − 1
ou em notação de congruência,
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p).
a) Calcular o resto da divisão de [tex]3^{90}[/tex] por 19.
Como mdc(3, 19) = 1, pelo P.T.F., temos
[tex]3^{19-1}\equiv 1~~\mathrm{(mod~}19)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3^{18}\equiv 1~~\mathrm{(mod~}19)[/tex]
Como [tex]90=18\cdot 5,[/tex] podemos aplicar uma das propriedades operatórias e elevar ambos os lados da congruência à quinta potência:
[tex]\Longrightarrow\quad (3^{18})^5\equiv 1^5~~\mathrm{(mod~}19)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3^{90}\equiv 1~~\mathrm{(mod~}19)[/tex]
Portanto, o resto da divisão de [tex]3^{90}[/tex] por 19 é igual a 1 (um).
b) Calcular o resto da divisão de [tex]5^{120}[/tex] por 41.
Como mdc(5, 41) = 1, pelo P.T.F., temos
[tex]5^{41-1}\equiv 1~~\mathrm{(mod~}41)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 5^{40}\equiv 1~~\mathrm{(mod~}41)[/tex]
Como [tex]120=40\cdot 3,[/tex] podemos aplicar novamente a mesma propriedade operatória, e elevar ambos os lados da congruência ao cubo:
[tex]\Longrightarrow\quad (5^{40})^3\equiv 1^3~~\mathrm{(mod~}41)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 5^{120}\equiv 1~~\mathrm{(mod~}41)[/tex]
Portanto, o resto da divisão de [tex]5^{120}[/tex] por 41 é igual a 1 (um).
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