Resposta:
a) O resto da divisão de 46! por 47 é igual a 46.
b) O resto da divisão de 70! por 71 é igual a 70.
Explicação passo a passo:
- Teorema de Wilson (T.W.):
Seja p um número natural. Então,
p é primo se e somente se
p divide (p − 1)! + 1
ou em notação de congruência,
(p − 1)! ≡ − 1 ≡ p − 1 (mod p).
a) Para p = 47, pelo T.W., segue que
[tex](47-1)!\equiv -1~~\mathrm{(mod~}47)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 46!\equiv -1\equiv -1+47~~\mathrm{(mod~}47)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 46!\equiv 46~~\mathrm{(mod~}47)[/tex]
Portanto, o resto da divisão de 46! por 47 é igual a 46.
b) Para p = 71, pelo T.W., segue que
[tex](71-1)!\equiv -1~~\mathrm{(mod~}71)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 70!\equiv -1\equiv -1+71~~\mathrm{(mod~}71)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 70!\equiv 70~~\mathrm{(mod~}71)[/tex]
Portanto, o resto da divisão de 70! por 71 é igual a 70.
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