✅ Encontrando a curva [tex] \rm y = f(x) [/tex], por meio da solução da equação diferencial [tex] \rm \dot{f}(x) = 3x^2+6x-2 [/tex], obtetemos [tex] \rm f(2) = 12 [/tex]
☁️ Teorema Fundamental do Cálculo: A (integral indefinida) primitiva de uma função [tex] \rm f(x) [/tex] é uma outra função [tex] \rm F(x) [/tex], cuja definição abaixo se verifica
[tex] \Large \underline{\boxed{\boxed{\qquad\displaystyle\rm F(x) = \int f(x)\,dx \Leftrightarrow \dot{F}(x) = f(x) \qquad}}} [/tex]
ℹ️¹ Propriedades operatórias das integrais, que serão utilizadas:
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \bullet~Linearidade\!:\\\displaystyle\rm \int f(x) + g(x) + \ldots + p(x) \,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx + \ldots + \int p(x)\,dx \\\\\rm \bullet~Primitiva~de~um~mon\hat{o}mio\!: \\\displaystyle\rm \int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + \mathbb{C} ,~n \neq -1~\land\, \mathbb{C} \in\mathbb{R}\end{array} [/tex]
ℹ️² Uma primitiva é uma equação diferencial por natureza, mesmo que simples em sua construção. Isso é dado pelo fato de estarmos procurando uma função/curva, cuja derivada resulte na função original, (vide teorema em ☁️), daí o nome primitiva.
O ponto destacável é que ao encontrar as primitivas, estaremos lidando com uma família de funções ( evidenciado pelo [tex] \rm +\mathbb{C}[/tex], que é uma translação em [tex] \rm \mathbb{C} [/tex] unidades no eixo y ), o que não deixa de ser justo, pois a menos de uma constante, estaremos lidando com a mesma função original, haja vista que ao derivar essas primitivas essa constante vai sumir e voltaremos a função original.
Com o ponto [tex] \rm P(1,-2) [/tex] dado, poderemos encontrar via teorema de existência e unicidade a única curva que passa por ele e dessa forma escrever quem é a [tex] \rm f(x) [/tex].
✍️ Solução:
❏ Primitivando…
[tex] \large\begin{array}{lr}\begin{aligned} \displaystyle \rm \int \dot{f}(x) \,dx &= \displaystyle \rm \int 3x^2+6x-2 \,dx\\\\&=\rm x^3 + 3x^2 -2x + \mathbb{C} \end{aligned}\\\\\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\:f(x) = x^3 + 3x^2 -2x + \mathbb{C} }}}\end{array} [/tex]
❏ Encontrando a função [tex] \rm f(x) [/tex] que passa pelo ponto [tex] \rm P(1,-2) [/tex]:
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm y = f(x) = x^3 + 3x^2 -2x + \mathbb{C},~\forall~x = 1 \land y = -2 \\\\\rm -2 = 1^3 + 3\cdot 1^2 - 2\cdot 1 + \mathbb{C}\\\\\rm -2 = 1 +3-2+\mathbb{C} \\\\\rm \mathbb{C} = -4 \\\\{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: y= f(x) = x^3 + 3x^2 -2x -4 }}}}\end{array} [/tex]
❏ Logo, [tex] \rm f(2) [/tex] será:
[tex] \large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm f(2) &=\rm x^3 + 3x^2 -2x -4 \,,\forall~x=2 \\\\&=\rm 2^3 + 3\cdot 2^2 -2\cdot2-4\\\\&=\rm 8 + 3\cdot 4 -4-4 \\\\&=\rm 8 + 12 -4-4 \end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\:f(2) = 12}}}} \\\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare \end{array} [/tex]
✔️ Esse será o valor de f(2)!
❏ Seção de links para complementar o estudo sobre integrais indefinidas:
[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]
