Lukyo
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(Aritmética: Sistemas lineares de congruências modulares)

Resolva o sistema linear de congruências modulares utilizando o Teorema Chinês dos Restos:

     [tex]\left\{\begin{array}{l} x\equiv 1\quad(\mathrm{mod~}2)\\ x\equiv 2\quad(\mathrm{mod~}3)\\ x\equiv 1\quad(\mathrm{mod~}5)\\ x\equiv 4\quad(\mathrm{mod~}7)\end{array}\right.[/tex]

com x ∈ ℕ. Indique

a) a solução geral do sistema.

b) a menor solução inteira positiva do sistema.​

Sagot :

a)

[tex]x_1 \equiv 1 \pmod 2[/tex]

A solução desta congruência, individualmente, é dada por:
[tex]x_1 = a_1 \cdot P_1 \cdot y_1[/tex]

Sendo:

[tex]a_1[/tex] o termo ao qual [tex]x_1[/tex] é conguente;

[tex]P_1[/tex] o produto de todos os módulos do sistema exceto o módulo desta congruência;

[tex]y_1[/tex] um representante da classe inversa de [tex]P_1[/tex], mod [tex]m_1[/tex] (neste caso, mod 2).

Logo:

[tex]x_1 = 1 \cdot (3 \cdot 5 \cdot 7) \cdot y_1\\x_1 = 105 \cdot y_1[/tex]

E, de acordo com a definição de classe inversa:
[tex]105y_1 \equiv 1 \pmod 2\\105y_1 - 2k = 1[/tex]

Os menores valores que satisfazem isso são [tex]k = 52[/tex] e [tex]y_1 = 1[/tex]. Continuando:
[tex]x_1 = 105 \cdot y_1\\x_1 = 105 \cdot 1\\x_1 = 105[/tex]

Realizando o mesmo procedimento com as seguintes 3 congruências:
[tex]x_2 = a_2 \cdot P_2 \cdot y_2\\x_2 = 2 \cdot 70 \cdot y_2\\\\70y_2 -3k= 1\\(y_2, k) = (1, 23)\\\\x_2 = 2 \cdot 70 \cdot 1\\x_2 = 140[/tex]

[tex]x_3 = a_3 \cdot P_3 \cdot y_3\\x_3 = 1 \cdot 42 \cdot y_3\\\\42y_3 -5k= 1\\(y_3, k) = (3, 25)\\\\x_3 = 1 \cdot 42 \cdot 3\\x_3 = 126[/tex]

[tex]x_4 = a_4 \cdot P_4 \cdot y_4\\x_4 = 4 \cdot 30 \cdot y_4\\\\30y_4 -7k= 1\\(y_4, k) = (4, 17)\\\\x_4 = 4 \cdot 30 \cdot 4\\x_4 = 480[/tex]

Portanto, a solução geral é:

[tex]x \equiv x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \pmod {m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 \cdot m_4}\\x \equiv 105 + 140 + 126 + 480 \pmod {2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}\\x \equiv 851 \pmod {210}\\x \equiv 210 \cdot 4 + 11 \pmod {210}\\x \equiv 11 \pmod {210}[/tex]

b) A menor solução positiva é diretamente com x = 11.

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