Equações Logarítmas
Resolve-se Equações Logarítmas através das propriedades operacionais:
- Logaritmo do Produto
- Logaritmo do Quociente
- Logaritmo da Potência
- Mudança de Base
1) Determine o conjunto solução da equação:
[tex]log_{2} (x+3)+log_{2} (x-4)=3[/tex]
[tex]log_{2} (x+3)+log_{2} (x-4)=log_{2}8[/tex]
[tex](x+3)(x-4)=8[/tex] ← transformamos os logaritmandos em produto
[tex]x(x-4)+3(x-4)=8[/tex]
[tex]x^2-4x+3x-12=8[/tex]
[tex]x^2-x-12-8=0\therefore x^2-x-20=0[/tex]
[tex]\triangle = (-1)^2-4.10.(-20)\therefore \triangle = 81[/tex]
[tex]x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{81} }{2.1} \therefore x = \dfrac{1\pm9}{2}[/tex]
[tex]x'=\dfrac{1+9}{2} \therefore x'=\dfrac{10}{2}\therefore x' = 5[/tex]
[tex]x''=\dfrac{1-9}{2}\therefore x''=\dfrac{-8}{2}\therefore x'' = -4[/tex]
Após fazermos a verificação (substituindo os valores encontrados no lugar do x da equação) vimos que somente o 5 serve como solução.
[tex]S=\{5\}[/tex]
2) Resolva a equação:
[tex]log_{2} x+log_{2} (10x-1)=1[/tex]
[tex]log_{2} x+log_{2} (10x-1)= log_{2}2[/tex]
[tex]x(10x-1)=2[/tex]
[tex]10x^2-x=2\therefore 10x^2-x-2=0[/tex]
[tex]\triangle = (-1)^2 -4.10.(-2)\therefore \triangle =81[/tex]
[tex]x=\dfrac{1\pm\sqrt{81} }{20}\therefore x'=\dfrac{1+9}{20}\therefore x' = \dfrac{10}{20}\therefore x' =\dfrac{1}{2}[/tex]
[tex]x''=\dfrac{1-9}{20}\therefore x'' = \dfrac{-8}{20}\therefore x'' = \dfrac{-2}{5}[/tex]
Após a verificação resulta como solução 1/2.
3)Determine o conjunto solução da equação:
[tex]log_{2} (x+2)+log_{2} (x-2)=5[/tex]
[tex]log_{2} (x+2)+log_{2} (x-2)=log_{2}32[/tex]
[tex](x+2)(x-2)=32[/tex]
[tex]x(x-2)+2(x-2)=32[/tex]
[tex]x^2-2x+2x-4=32[/tex]
[tex]x^2-4=32[/tex]
[tex]x^2=32+4[/tex]
[tex]x^2=36[/tex]
[tex]x=\pm\sqrt{36} \therefore x = \pm6[/tex]
Após a verificação sobra o 6 para solução da equação.
[tex]S = {6}[/tex]
4) Ache o valor das expressões
[tex]a) log_{10} (5)+log_{10} (200)=[/tex] [tex]log_{10} 5.200 = log_{10}1000=3[/tex]
[tex]b) log_{10} 100+log_{10} 50+log_{10}10+log_{10}2 =[/tex][tex]log_{10}100.50.10.2=log_{10}100000=5[/tex]
[tex]c) log_{2} (24)-log_{2} (3)=[/tex][tex]log_{2} \frac{24}{3} = log_{2} 8=3[/tex]
[tex]d) log_{5} 8+log_{5} 12,5+log_{5}4 =[/tex][tex]log_{5}8.12,5:4=log_{5}25=2[/tex]
5) Sabendo o valor de:
[tex]log_{10}2=0,3[/tex] [tex]log_{10}3=0,5[/tex]
[tex]a) log_{10} 6=[/tex] [tex]log_{10}2+log_{10}3= 0,3+0,5=0,8[/tex]
[tex]b) log_{10} 900=[/tex] [tex]log_{10}100+log_{10}9= 2+2.log_{10} 3=2+2.0,5=2+1=3[/tex]
[tex]c) log_{10} 2,5=[/tex] [tex]log_{10} \dfrac{25}{10} =log_{10}\dfrac{5}{2}= log_{10} 5-log_{10}2=[/tex]
[tex]log_{10}3+log_{10}2-log_{10}2=[/tex] [tex]log_{10}3=[/tex][tex]0,5[/tex]
[tex]a) log_{10} 5=[/tex] [tex]log_{10} 2+a) log_{10} 3=0,3+0,5=0,8[/tex]
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