Resposta:
[tex]\mathsf{1)\,a)\,x = 20\,\,e\,\,y = 20}\\\mathsf{1)\,b)\,x = 9\,\,e\,\,y = 18}[/tex]
Explicação passo a passo:
Olá!
Antes de começarmos, vamos recapitular alguns conceitos de trigonometria no triângulo retângulo:
[tex]\boxed{\mathtt{SENO = \dfrac{CATETO\,\,OPOSTO}{HIPOTENUSA}}}[/tex]
[tex]\boxed{\mathtt{COSSENO = \dfrac{CATETO\,\,ADJACENTE}{HIPOTENUSA}}}[/tex]
[tex]\boxed{\mathtt{TANGENTE = \dfrac{CATETO\,\,OPOSTO}{CATETO\,\,ADJACENTE}}}[/tex]
Relembrando assim, podemos ir à tarefa.
01) a) Neste triângulo retângulo, temos um ângulo de 45° e a hipotenusa medindo 20√2. Podemos encontrar o valor, primeiramente, de x utilizando o seno. Sabemos que:
[tex]\mathtt{SENO = \dfrac{CATETO\,\,OPOSTO}{HIPOTENUSA}}\\\\[/tex]
Se Sen 45° = √2/2 (pela tabela de ângulos notáveis) e a hipotenusa mede 20√2, então:
[tex]\mathtt{SENO = \dfrac{CATETO\,\,OPOSTO}{HIPOTENUSA}}\\\\\mathtt{SEN\, 45^\circ = \dfrac{CATETO\,\,OPOSTO}{20\sqrt{2}}}\\\\\mathtt{\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{CATETO\,\,OPOSTO}{20\sqrt{2}}}\\\\\mathtt{CATETO\,\,OPOSTO \cdot 2 = 20 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}}\\\mathtt{CATETO\,\,OPOSTO \cdot 2 = 20 \cdot 2}}\\\\\mathtt{CATETO\,\,OPOSTO= \dfrac{20 \cdot 2}{2}}}\\\\\boxed{\mathtt{CATETO\,\,OPOSTO= 20}}}\\[/tex]
Assim, determinamos o valor do Cateto Oposto, que é 20. Agora, podemos utilizar a tangente para determinar o valor do Cateto Adjacente. Sabendo que Tg 45° = 1, então:
[tex]\mathtt{TANGENTE = \dfrac{CATETO\,\,OPOSTO}{CATETO\,\,ADJACENTE}}\\\\\mathtt{TANGENTE\, 45^\circ = \dfrac{20}{CATETO\,\,ADJACENTE}}\\\\\mathtt{1 = \dfrac{20}{CATETO\,\,ADJACENTE}}\\\\\\\boxed{\mathtt{CATETO\,\,ADJACENTE = 20}}\\\\[/tex]
Assim, se x é o cateto adjacente e y é o cateto oposto, então x = 20 e y = 20.
1) b) Neste triângulo retângulo, temos um ângulo de 30° e o valor do cateto adjacente como sendo 9√3. Podemos encontrar o valor, primeiramente, de x utilizando a tangente. Sabemos que:
[tex]\mathtt{TANGENTE = \dfrac{CATETO\,\,OPOSTO}{CATETO\,\,ADJACENTE}}[/tex]
Então, se Tg 30° = √3/3, temos que:
[tex]\mathtt{TANGENTE = \dfrac{CATETO\,\,OPOSTO}{CATETO\,\,ADJACENTE}}\\\\\mathtt{TANGENTE\,30^\circ = \dfrac{CATETO\,\,OPOSTO}{9\sqrt{3}}}\\\\\mathtt{\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{CATETO\,\,OPOSTO}{9\sqrt{3}}}\\\\\mathtt{CATETO\,\,OPOSTO \cdot 3 = 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\\\mathtt{CATETO\,\,OPOSTO \cdot 3 = 9 \cdot 3}\\\\\boxed{\mathtt{CATETO\,\,OPOSTO = 9}}\\[/tex]
Assim, o valor do Cateto Oposto é 9. Então, indo para os finais, para acharmos o valor da Hipotenusa, podemos utilizar o Seno. Sabendo que Sen 30° = 1/2, então:
[tex]\mathtt{SENO = \dfrac{CATETO\,\,OPOSTO}{HIPOTENUSA}}\\\\\mathtt{SENO\,30^\circ = \dfrac{9}{HIPOTENUSA}}\\\\\\\mathtt{\dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{HIPOTENUSA}}\\\\\mathtt{HIPOTENUSA = 9\cdot2}\\\\\boxed{\mathtt{HIPOTENUSA = 18}}[/tex]
Assim, se x é o cateto oposto e y é a hipotenusa, então x = 9 e y = 18.
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