Resposta:
[tex]\boxed{\mathsf{log_{\dfrac{1}{4}}32 = x \Leftrightarrow x = -\dfrac{5}{2}}}\\\\[/tex]
Explicação passo a passo:
Olá!
A questão nos pede o resultado da seguinte expressão:
[tex]\mathsf{log_{\dfrac{1}{4}}32}[/tex]
Se utilizando do princípio básico dos logaritmos:
[tex]\mathsf{log_{b}a = x \Leftrightarrow b^x = a}\\\\\mathsf{log_{\dfrac{1}{4}}32 = x \Leftrightarrow \left(\dfrac{1}{4}\right)^x = 32}[/tex]
Manipulando convenientemente, podemos dizer com tranquilidade que 1/4 = 1/2². Então:
[tex]\mathsf{log_{\dfrac{1}{4}}32 = x \Leftrightarrow \left(\dfrac{1}{2^2}\right)^x = 32}\\\\[/tex]
Utilizando a propriedade de potências negativas, temos:
[tex]\mathsf{log_{\dfrac{1}{4}}32 = x \Leftrightarrow \left(2^{-2}\right)^x = 32}\\\mathsf{log_{\dfrac{1}{4}}32 = x \Leftrightarrow 2^{-2x} = 32}\\[/tex]
Sabendo que 32 = 2^5, temos:
[tex]\mathsf{log_{\dfrac{1}{4}}32 = x \Leftrightarrow 2^{-2x} = 2^5}\\[/tex]
Por fim, em uma equação exponencial se as bases são iguais, devemos igualar os expoentes. Assim, podemos afirmar que:
[tex]\mathsf{log_{\dfrac{1}{4}}32 = x \Leftrightarrow -2x = 5}\\\mathsf{log_{\dfrac{1}{4}}32 = x \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{-2}}\\\\\\\boxed{\mathsf{log_{\dfrac{1}{4}}32 = x \Leftrightarrow x = -\dfrac{5}{2}}}\\\\[/tex]
Por isso, o valor do logaritmo de 32 na base 1/4 é -5/2.
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