Correção ao enunciado:
Seja um número natural N, diferente de zero. Somando-se uma unidade a N, ele passa a ser divisível por 6 e subtraindo uma unidade de N, ele passa a ser divisível por 7. Qual o menor valor possível para N?
Resposta: N = 29.
Explicação passo a passo:
De acordo com o enunciado, existem [tex]k_1,\,k_2[/tex] inteiros tais que
[tex]\left\{\begin{array}{l} N+1=6k_1\\\\ N-1=7k_2\end{array}\right.\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{lc} N=6k_1-1&\quad\mathrm{(i)}\\\\ N=7k_2+1&\quad\mathrm{(ii)}\end{array}\right.[/tex]
Igualando as duas equações, devemos ter
[tex]6k_1-1=7k_2+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 6k_1-7k_2=1+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 6k_1-7k_2=2\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]
Esta é uma equação diofantina linear de duas variáveis, e tem solução, pois
mdc(6, 7) = 1 e 1 | 2.
Utilizando o algoritmo de Euclides, podemos escrever
[tex]7=6+1\quad\Longleftrightarrow\quad 1=-6+7[/tex]
Então, temos
[tex]6\cdot (-1)-7\cdot (-1)=1[/tex]
Multiplicando os dois lados por 2, obtemos
[tex]6\cdot (-2)-7\cdot (-2)=2[/tex]
Logo, o par [tex](k_1,\,k_2)=(-2,\,-2)[/tex] é uma solução para a equação (iii).
Para encontrarmos a solução geral, vamos somar e subtrair um múltiplo comum e 6 e 7. Como mmc(6, 7) = 42, temos
[tex]\Longleftrightarrow\quad 6\cdot (-2)+42q-42q-7\cdot (-2)=2\\\\ \Longleftrightarrow\quad 6\cdot(-2+7q)-7\cdot (6q-2)=2[/tex]
A solução geral é
[tex](k_1,\,k_2)=(-2+7q,\,6q-2),\qquad\mathrm{com~}q\in\mathbb{Z}.[/tex]
Substituindo em uma das equações para o número N, temos
[tex]\Longrightarrow\quad N=6\cdot (-2+7q)-1\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=-12+42q-1\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=42q-13,\qquad\mathrm{com~}q\in\mathbb{Z}.[/tex]
O menor valor possível para N natural é obtido para q = 1:
[tex]\Longrightarrow\quad N=42\cdot (1)-13\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=42-13\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=29\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}[/tex]
Obs.: Essa tarefa também pode ser resolvida usando o Teorema Chinês dos Restos aplicado ao sistema de congruências lineares abaixo:
[tex]\left\{\begin{array}{lc} N\equiv -1&\quad(\mathrm{mod~}6)\\\\ N\equiv 1&\quad(\mathrm{mod~}7)\end{array}\right.[/tex]
que possui solução, pois mdc(6, 7) = 1.
Dúvidas? Comente.
Bons estudos! :-)
