A partir dos dados fornecidos pelo problema podemos concluir que o valor da solução da integral é: - ln|x + 1| +ln|x - 2| + C
- Método das frações parciais:
O método das frações parciais consiste em decompor um quociente de polinômios em uma soma de polinômios de menor grau. Para decompor uma expressão em frações parciais devemos atender a um certo requisito, o requisito é que o grau do polinômio do denominador seja estritamente maior que o do numerador.
Tendo em conta este método podemos encontrar a solução do nosso problema.
[tex]\rule{10cm}{0.01mm}[/tex]
O problema nos pede para resolver esta integral indefinida pelo método das frações parciais: [tex]\displaystyle \int \dfrac{3x}{x^3- x^2- 2 x} dx[/tex]
Vemos que o grau do polinômio do numerador é menor que o grau do polinômio do denominador, aqui cumprimos a condição mais importante para realizar a decomposição em frações parciais.
Antes de aplicar este método será necessário fatorar os polinômios do numerador e do denominador. Primeiro podemos fatorar o polinômio do denominador, pois será o mais simples.
Vemos que no denominador será possível extrair a variável x de tal forma que quando ela for multiplicada pela expressão já fatorará o mesmo resultado.
[tex]\displaystyle \int \dfrac{3\not\!x}{\not\!x\left(x^2- x- 2 \right)} dx\\\\ \displaystyle \int \dfrac{3}{x^2- x- 2 } dx[/tex]
Tendo feito a simplificação, reduzimos o grau de ambos os polinômios. Agora, aqui podemos novamente fatorar o polinômio no denominador por um produto de polinômios de grau 1.
[tex] \displaystyle \int \dfrac{3}{(x+1)(x-2) } dx[/tex]
Com a expressão que obtivemos podemos usar o método das frações parciais, esta fração pode ser simplificada como:
[tex] \displaystyle \dfrac{3}{(x+1)(x-2) } =\dfrac{A}{x+1} +\dfrac{B}{x-2}\\ \\ \displaystyle 3 = A (x-2) + B(x + 1)[/tex]
Sendo constantes A e B que podem ser determinadas, para determinar o valor dessas constantes podemos alterar os valores de x à nossa disposição.
- Se x tiver um valor igual a 2, o valor de uma de nossas constantes será:
[tex] \displaystyle 3 = A (2-2) + B(2+ 1)\\\\ 3 = 3 B \\\\ ~\Longrightarrow\quad \boxed{\sf 1 = B } [/tex]
- Se x tiver um valor igual a -1, o valor de uma de nossas constantes será:
[tex] \displaystyle 3 = A (-1-2) + 1(-1+ 1)\\\\ 3 = - 3 A \\\\ ~\Longrightarrow\quad \boxed{\sf -1 = A } [/tex]
Como já encontramos todos os valores de nossas constantes podemos dizer que nossas frações parciais são:
[tex] \displaystyle \dfrac{3}{(x+1)(x-2) } =-\dfrac{1}{x+1} +\dfrac{1}{x-2}[/tex]
Como já encontramos nossas frações parciais, a integral pode ser igual a:
[tex]\displaystyle \int \left(-\dfrac{1}{x+1} +\dfrac{1}{x-2} dx\right)[/tex]
Essa integral pode ser simplificada usando algumas propriedades que já existem, para o nosso caso podemos aplicar a regra da adição, a regra da adição tem a expressão: [tex]\displaystyle \sf \int f(x)\pm g(x) dx=\int f(x) dx \pm \int g(x) dx[/tex]
Aplicando esta regra em nossa integral obtemos o produto de duas integrais muito simples de resolver.
[tex]\displaystyle \int -\dfrac{1}{x+1} dx+\int \dfrac{1}{x-2} dx\\\\ \displaystyle -\int \dfrac{1}{x+1} dx+\int \dfrac{1}{x-2} dx[/tex]
Para encontrar a solução dessas duas integrais devemos lembrar algumas regras de integração, uma dessas regras diz que uma integral de estilo: [tex]\sf \displaystyle \int \dfrac{1}{x} dx= \ell n|x | + C[/tex]
Aplicando esta regra podemos concluir que o valor da integral é:
[tex] \displaystyle- \ell n\left|x + 1\right|+ C _ 1+\ell n \left|x - 2\right|+ C _2 \\\\ \boxed{\boxed{\bf- \ell n\left|x + 1\right|+\ell n \left|x - 2\right|+ C}}\Longrightarrow \bf Resposta~ \checkmark [/tex]
Veja mais sobre o assunto das integrais pelo método das frações parciais nos links a seguir:
https://brainly.com.br/tarefa/38220107
https://brainly.com.br/tarefa/5658712
https://brainly.com.br/tarefa/33319917
Bons estudos e espero que te ajude :-)
Dúvidas? Comente
