A partir dos dados fornecidos pelo problema podemos concluir que o valor desta integral tripla é [tex]\boxed{\boxed{\bf 40}}[/tex]
E para chegar a essa conclusão tivemos que usar o teorema de Fubini.
O teorema de Fubini nos permite resolver integrais de várias variáveis de maneira mais simples. Embora o Teorema de Fubini estabeleça as condições para poder reduzir a avaliação de uma integral dupla a uma integral iterada e também pode ser usado em uma integral tripla.
- Levando em conta o teorema de Fubini podemos encontrar a solução para o nosso problema.
[tex]\rule{12cm}{0.01mm}[/tex]
Temos a seguinte integral para resolver:
[tex]\quad\displaystyle \int ^4 _{-1}\int ^2 _{-2} \int ^3 _1 dy dx dz [/tex]
Para reduzir essa integral e ela resolverá por partes de acordo com o teorema de Fubini, podemos colocar cada integral entre parênteses, se colocarmos cada integral com seu respectivo diferencial entre parênteses, obtemos:
[tex]\quad \displaystyle = \int ^4 _{-1}\left(\int ^2 _{-2} \left[\int ^3 _1 dy\right]dx\right) dz [/tex]
Vamos levar em conta a ordem conforme vamos para a integral, primeiro integramos a integral do meio, depois de resolver essa integral removemos os parênteses e resolvemos a próxima integral e assim por diante.
Se não realizarmos esta ordem, o que pode acontecer é obter um resultado errôneo.
A primeira integral será a mais simples, pois estamos integrando apenas uma diferencial de uma variável, a integral de uma diferencial é a mesma variável. Fazendo esta integral temos:
[tex] \displaystyle = \int ^4 _{-1}\left(\int ^2 _{-2} \left[\vphantom{\dfrac{}{}} y\right]^3 _1 dx\right) dz [/tex]
Como estamos resolvendo uma integral definida, o que vamos fazer é avaliar os valores da variável nos limites de integração encontrados, fazendo isso obtemos:
[tex] \displaystyle = \int ^4 _{-1}\left(\int ^2 _{-2} \left(3 -1\right) dx\right) dz\quad \to \quad \displaystyle = \int ^4 _{-1}\left(\int ^2 _{-2} 2dx\right) dz\\\\\quad \displaystyle = \int ^4 _{-1}2\left(\int ^2 _{-2} dx\right) dz [/tex]
Vamos enviar o número 2 para fora da integral, pois conta como uma constante.
[tex]\displaystyle I) ~= \int ^4 _{-1}2\left[ \vphantom{\dfrac{}{}}x\right]^2 _{-2} dz \displaystyle \quad \to\quad II)~ = \int^{4} _{-1} 2(2+2) dz\\\\ \displaystyle III)~= \int^{4} _{-1} 2(4) dz \displaystyle \quad \to\quad IV)~ = \int^4_{-1} 8 dz [/tex]
O valor desta integral pode ser tomado como uma constante, pois não está somando ou subtraindo uma variável que estamos integrando, fazendo isso obtemos:
[tex] \displaystyle\ = 8\int^{4} _{-1} dz~\to~\displaystyle = 8\left[\vphantom{\dfrac{}{}} z\right]^4 _{-1}\\\\\displaystyle \rm = 8\left(4+1\right)[/tex]
Resolvendo as operações podemos dizer que o valor desta integral é:
[tex] \displaystyle = 8\left(4+1\right)\quad \to\displaystyle \quad = 8\cdot 5 \\\\ \boxed{\boxed{\bf\int ^4 _{-1}\int ^2 _{-2} \int ^3 _1 dy dx dz= 40}}[/tex]
Feitos os cálculos, acabamos de concluir que a alternativa que representa o valor da integral é b).
Veja mais sobre o tópico de integrais triplas nos links a seguir:
https://brainly.com.br/tarefa/4731364
https://brainly.com.br/tarefa/52759166
Bons estudos e espero que te ajude :D
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